Luogu U13059 某种密码

应该没什么用的题目链接

题目背景

关于某种密码有如下描述：某种密码的原文A是由N个数字组成，而密文B是一个长度为N的01数串，原文和密文的关联在于一个钥匙码KEY。若KEY=∑▒〖Ai*Bi〗，则密文就是原文的一组合法密码。

题目描述

现在有原文和钥匙码，请编一个程序来帮助他统计到底有多少个符合条件的密文。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数N，KEY，意义同题目描述；

第二行N个数表示原文A，意义同题目描述。

输出格式：

一个数ANS，表示对于原文A和KEY，有多少组可行的密文B。

输入输出样例

输入样例#1：

3 2
1 1 2

输出样例#1：

2

说明

【样例说明】

密文110，1*1+1*1+0*2=2

密文001，0*1+0*1+1*2=2

一共两组可行的密文。

【数据范围】

60%数据满足N<=25

100%数据满足N<=40，-maxlongint<=∑▒Ai<=maxlongint

题解：

这道题可以理解为一个01背包问题的变种，n为物品个数，原文为物品的重量，钥匙码为背包容量，求恰好装满背包的方案数。

如果是一道普通01背包求恰好装满背包的方案数的题，可以用DP求解。具体思路是设f[i][j]为用前i个物品恰好装满容量为j的背包的方案数，转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-w[i]]。显然可以滚动数组或一维数组优化，在此不再赘述。

然而，观察数据范围会发现，此处物品的重量极大，达到了int的范围，因此DP的时空复杂度均无法承受，然而n的范围较小，可以考虑搜索。

60分做法：

直接暴搜，O(2ⁿ)枚举放入背包的物品集合，将重量相加并与key比较。然而，对于剩余的40%数据，复杂度太大，仍然无法解决。

100分做法：

注意到这是一类经典问题，即从一个集合中选取某个子集，使其中所有元素值之和等于某个给定值。可以使用以空间换时间的折半枚举。类似思想也在BSGS中得到应用。

将物品集合均分成两个交集为空，补集为全集的集合A、B，对集合A暴力枚举其所有子集中元素和并存入哈希表（可重集），再对集合B暴力枚举每个子集的元素和s，同时查找哈希表中值为(key-s)的元素个数并计数。时间复杂度为O(2*2^n/2)=O(2^n/2)，可以接受。

注意此处用到的哈希表如果使用STL代替的话，不能使用set，要用multiset或map，然而multiset速度极慢不推荐使用，map速度也稍慢，有被卡1~2个点的风险。不过我自己写的哈希表写挂了只能用map

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define h(x) (x%MOD)
#define LL long long
using namespace std;
const LL maxn=100,maxm=4e6+10,maxk=1e5+10,MOD=1e5+3;
map<int,int>isvis;
LL a[maxn];
LL n,key,mid,tot=0;LL ans=0;
int main()
{
    LL i,j,k,l,r,tmp;
    cin>>n>>key;
    //l=n/2;r=n-l;
    mid=(1+n)>>1;l=mid;r=n-l;
    for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}
    for(k=0;k<(1<<l);k++)
    {
        tmp=0;
        for(i=0;i<l;i++){if(k&(1<<i)){tmp+=a[i+1];}}
        isvis[tmp]++;
    }
    for(k=0;k<(1<<r);k++)
    {
        tmp=0;
        for(i=0;i<r;i++){if(k&(1<<i)){tmp+=a[l+i+1];}}
        ans+=isvis[key-tmp];
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

PS：

此外，还有一类01背包的变种。这类问题中物品个数与普通01背包类似，物品重量与背包容量极大，但物品单个价值较小，求装入背包的物品价值的最大值。

此类问题可以用DP求解，只是需要对状态进行些许修改。设f[i][j]为前i个物品价值总量为j时所需的背包容量的最小值，状态转移方程为f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i])。最后扫描f[n][i]，找到最接近给定背包容量的i输出即可。