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  • 除法分块

    part 1

    对于

    [sumlimits_{i=1}^n left lfloor frac n i ight floor ]

    最多只有 (2 * sqrt n) 个取值

    证明

    显然

    part 2

    当 $ l = i $ 时 , (r = left lfloor frac n {left lfloor frac n l ight floor} ight floor) , 此时

    [forall x in [l,r] ,forall y in [l,r] ]

    [left lfloor frac n x ight floor = left lfloor frac n y ight floor ]

    (r) 就是这个值 $ (left lfloor frac n l ight floor)$ 的右边界

    证明 ( 反证法 )

    首先 (left lfloor frac n l ight floor = left lfloor frac n r ight floor)(left lfloor frac n l ight floor = left lfloor frac n {left lfloor frac n {left lfloor frac n l ight floor} ight floor} ight floor)

    (t = left lfloor frac n l ight floor , n = t * l + r , l> r) , 那么原式 $ = left lfloor frac n {left lfloor frac {t * l + r} {t} ight floor} ight floor $ , 对 $ t < rand t >= r $,分类讨论即可

    如果 (r) 不是右边界,则一定有 (t = left lfloor frac n {r+1} ight floor = left lfloor frac n r ight floor)

    则 $ n geq t * (r+1) , left lfloor frac n t ight floor geq frac{(r + 1) * t}{t}, left lfloor frac n t ight floor geq r + 1 $

    根据定义 (left lfloor frac n t ight floor = r , r geq r + 1) ,与事实不符

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