例子
- 求解 (sumlimits_{i = 1} ^ n i ^ 2)
设它的递推式为
[R_0 = alpha
]
[R_n = R_{n - 1}＋delta n^2 + gamma n + eta
]
已知 (alpha = eta = gamma = 0, delta = 1) 时，(R_n=sum_{i = 1}^n i^2)
因为递推式只与参数 (alpha, eta, gamma, delta) 相关，可以得出
[R_n = A(n) alpha + B(n) eta + C(n) gamma + D(n) delta
]
那么任意符合上面这个递推式的都可以用这个一般形式得出，强调一下，无论 (alpha,eta,gamma,delta) 取什么，(A(n),B(n),C(n),D(n)) 都是不变的
这启发我们用一些简单的函数来求解 (A(n), B(n), C(n), D(n))
带入函数1
- 对于 (f(n) = 1)
[f_0 = 1 o alpha = 1
]
[1 = 1 + delta n^2 + gamma n + eta o delta = gamma = eta = 0
]
得出一个关系式
[1 = A(n)
]
带入函数2
- 对于 (f(n) = n)
[f_0 = 0 o alpha = 0
]
[n = n - 1 + delta n^2 + gamma n + eta o delta = gamma = 0, eta = 1
]
又一个关系式
[n = B(n)
]
带入函数3
- 对于 (f(n) = n^2)
[f_0 = 0 o alpha = 0
]
[n^2=(n-1)^2 + gamma n + eta + delta n^2 o delta = 0, eta = -1, gamma = 2
]
[n^2 = -B(x) + 2C(n)
]
跟上面的式子联立，可以解出 (C(n) = frac{n^2 + n} 2)
带入函数4
- 对于 (f(n) = n^3)
[f_0 = 0 o alpha = 0
]
[n^3=(n-1)^3 + gamma n + eta + delta n^2 o delta = 3, eta = 1, gamma = -3
]
可以解出
[D(n) = n(n + frac 1 2) (n + 1)
]
这个式子是不是有些眼熟，对，它就是平方和公式，只要把 (delta) 设为 1，就可以发现 (D(n) = sum_{i = 1} ^ n i^2)，一开始设它的目的也是这个
一般情况
从上面的例子可以看出，对已一个递推公式来说，最终的封闭形式只与项数 (n)，和其中的变量有关
因此我们可以设出封闭形式，并带入简单函数进行求解
需要注意的是，设出的函数必须可解，当带入一个简单函数无法通过 (delta,eta...) 来得到递推式时，要么考虑换一个函数，要么增加一个变量
这就需要通过做题来增加数学经验了