【题解】子序列个数 [51nod1202] [FZU2129]

【题解】子序列个数 [51nod1202] [FZU2129]

传送门：子序列个数 ([51nod1202]) ([FZU2129])

【题目描述】

对于给出长度为 (n) 的一个序列 (a)，求出不同的非空子序列个数。答案对 (10^9+7) 取模。

【样例】

样例输入：
4
1
2
3
2

样例输出：
13

【数据范围】

(100\%) (1 leqslant N,a[i] leqslant 10^5)

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【分析】

先考虑没有相同整数的情况，每个元素有选或不选两种情况，一共 (n) 个元素，又不能有空集，答案为 (2^n-1)。
如果要写递推方程的话就是 (dp[i]=dp[i-1]*2+1)，其中 (dp[i]) 表示选择原序列中前 (i) 个元素所能构成的不同子序列数量，(dp) 方程含义为：在长度为 (i-1) 的序列中是否加入一个 (a[i]) (() (2*dp[i-1]) 种 ()) 以及只选 (a[i]) 的情况 (() (1) 种 ()) 。

假设就按照这个方程推下去，如果前面某一位 (j) 上的数与 (a[i]) 相同，会对 (dp[i]) 造成什么影响呢？

首先，只选 (a[i]) 这一个数的情况已经在前面统计过了。
然后，(j) 前面的所有方案都不能转移到 (dp[i]) 上面来，因为它们已经转移到 (dp[j]) 上。

这里的 (“) 所有方案 (”) 其实就是 (dp[j-1])，且 (j) 必须为最接近 (i) 的那一个位置，否则就不能代表所有被算重复的情况。

用 (w[a[i]]) 表示前面等于 (a[i]) 的且位置最靠近 (i) 的数的位置，若不存在则 (w[a[i]]=0)，(dp) 方程为：

(dp[i]=egin{cases} dp[i-1]*2+1 & w[a[i]]=0\dp[i-1]*2+1-dp[w[a[i]]-1]-1 & w[a[i]]!=0 end{cases})

时间复杂度为：(O(n)) 。

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【Code】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define Re register int
const int N=1e6+3,P=1e9+7;
int n,ans,a[N],W[N],dp[N];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
    	memset(dp,0,sizeof(dp));
    	memset(W,0,sizeof(W));
    	for(Re i=1;i<=n;++i){
            in(a[i]);
            dp[i]=((dp[i-1]<<1)%P+1)%P;
            if(W[a[i]])((dp[i]-=(dp[W[a[i]]-1]+1)%P)+=P)%=P;
            W[a[i]]=i;
    	}
    	printf("%d
",dp[n]%P);
    }
}