【学习笔记】字符串—马拉车（Manacher）

【学习笔记】字符串—马拉车（Manacher）

一：【前言】

马拉车用于求解连续回文子串问题，效率极高。

其核心思想与 (kmp) 类似：继承。 ——引自 (yyx) 学姐

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二：【算法原理】

对于任意一个回文串 (a)，设其中点为 (mid)（为方便描述，偶数串则在正中央加一个位置），那么根据定义，有：

(a[mid-1]==a[mid+1])
(a[mid-2]==a[mid+2])
(...)

可知：
如果 (a[mid-x]) 可以形成半径为 (r) 的回文串，且不越过以 (mid) 为中心的回文串，那么 (a[mid+x]) 也可以形成半径为 (r) 的回文串。

以奇回文串为例，用 (r[i]) 表示以 (i) 为中点的最大回文串长度。
如果我们已知 (r[mid],r[j](j in [mid-r[mid]+1,mid-1]))，那么可以分两种情况推出其关于 (mid) 的对称点 (i) ((frac {i+j}{2}=mid)) 的半径：

设 (R=mid+r[mid]-1) 。
((1).) (i+r[j]-1<=R,) (r[i]=r[j]) 。

((2).) (i+r[j]-1>R,) (r[i]=R-i+1) 。

即 (r[i]=min(r[j],R-i+1)) 。

如上所述，实现了从前面信息到后面信息的继承。

继承之后还需要判断以 (i) 为中心能否继续扩张，这时候可以直接暴力枚举扩大半径。

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三：【算法实现】

实时维护一个已知覆盖范围最靠右的回文串信息，记录其中点 (mid) 和右端点 (R)。

从 (1,n) 枚举 (i)：
若 (i<=R) 则可以用 (i) 的对称点 (mid*2-i) 得到 (r[i])，
若 (i>R)（即 (R=i-1) 的情况，因为 (R) 永远大于等于 (i-1)），初始化 (r[i]=1)，然后暴力扩大求出最大 (r[i])。

如果以 (i) 为中点可以得到更靠右的回文串，更新 (mid) 和 (R)。

但偶数串不太好处理，所以在原字符串中的所有空隙中插入一个不可能出现的字符，例如 ('*',) ('|') 等等，最前面和最后面也要插。
此时，奇数串还是奇数串，偶数串则变成了奇数串，可以统一按照奇数串处理啦。

注意：统计答案时应取真实的回文串长度。
（具体可以自己画个图分类讨论一下，会发现无论奇偶，无论是否为原字符串中的字符，(r[i]-1) 始终等于以 (i) 为中点的实际最大回文串长度。）

【Code】

题目：(Palindrome) ([Poj3974])

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,R,mid,ans,OOO,r[N<<1];char op[N],a[N<<1];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int main(){
    while(cin>>op){
        if(op[0]=='E'&&op[1]=='N'&&op[2]=='D')break;//没用string就只能这样一位一位地判断了
        a[0]='$',a[n=1]='*',R=0,mid=0,ans=0;
        for(Re i=0;op[i];++i)a[++n]=op[i],r[n]=0,a[++n]='*',r[n]=0;//玄学填空法
        for(Re i=1;i<=n;++i){
            r[i]=i<=R?min(R-i+1,r[(mid<<1)-i]):1;//继承前辈的信息
            while(a[i-r[i]]==a[i+r[i]])++r[i];//暴力扩张领域
            if(i+r[i]-1>R)R=i+r[mid=i]-1;
            ans=max(ans,r[i]-1);//取实际回文长度
        }
        printf("Case %d: %d
",++OOO,ans);
    }
}

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四：【时间复杂度】

似乎看起来效率并不高，近似 (O(n^2))，但实际上它的理论复杂度是 (O(n))。

为何？

对于每个 (i)：
如果 (i<=R)，那么直接 (O(1)) 计算 (r[i])。
如果 (i>R)，那么会用 (O(len)) 向右扫描 (len)个单位，所以此时 (R) 会向右移动 (len+1) 的单位。
而 (R) 最多只会移动 (n) 个单位，因此 (Manacher) 算法时间复杂度是线性的：(O(n))。

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五：【例题】

• 【模板】(manacher) 算法 ([P3805])
  【标签】字符串/回文串/(Manacher) 模板

• (Palindrome) ([Poj3974])
  【标签】字符串/回文串/(Manacher) 模板/(Hash)/二分

• (Palindrome) (pairs) ([CF159D])
  【标签】字符串/回文串/(Manacher)/差分
  【题解】(Xing)_(Ling)

• (Sonya) (and) (Matrix) (Beauty) ([CF1080E])
  【标签】字符串/回文串/(Manacher)/暴力枚举/整体思想
  【题解】(Xing)_(Ling)