【题解】情侣？给我烧了！[MtOI2018] [P4921]
传送门：情侣？给我烧了！( ext{[MtOI2018] [P4921]})
【题目描述】
共 (T) ((Tleqslant 1000)) 次询问，每次给出一个正整数 (n) ((nleqslant 1000)) ，表示有 (n) 对情侣和 (n) 排座位（每排有两个位置），对于 (kin[0,n])，求出恰好有 (k) 对情侣坐在同一排的方案数。
【分析】
组合意义天地灭，代数推导保平安。 —— tiger0133
这里提供一个不需要费脑子的二项式反演做法（其实柿子都一样，只是这样做更易理解）。
题面加粗黑体字已经给出了很明显的提示，按照套路先设计两个状态：
(f(i))：恰好有 (i) 对情侣坐在一排的方案数。
(g(i))：至少有 (i) 对情侣坐在一排的方案数。
易知 (g(k)=sum_{i=k}^{n}C_{i}^{k}f(i)) 。
由二项式反演可得：(f(k)=sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}C_{i}^{k}g(i)) 。
其中 (g(i)=C_{n}^{i}A_{n}^{i}(2!)^{i}(2n-2i)!)，(C_{n}^{i}) 表示的是选定坐同一排的某 (i) 对情侣，(A_{n}^{i}) 为选定某 (i) 排，((2!)^{i}) 为这 (i) 对情侣内部顺序的乘积，((2n-2i)!) 表示剩下的人可以随便排。
则：
[egin{aligned}f(k)&=sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}C_{i}^{k}C_{n}^{i}A_{n}^{i}(2!)^{i}(2n-2i)!\&=sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}C_{i+k}^{k}C_{n}^{i+k}A_{n}^{i+k}2^{i+k}(2n-2k-2i)!\&=sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}frac{(i+k)!}{k!i!}frac{n!}{(i+k)!(n-i-k)!}frac{n!}{(n-i-k)!}2^{i+k}(2n-2k-2i)!\&=frac{2^{k}(n!)^2}{k!}sum_{i=0}^{n-k}frac{(-1)^{i}2^{i}}{i!}frac{(2n-2k-2i)!}{((n-k-i)!)^{2}} end{aligned}
]
观察后面那个求和柿子，其值只与给定的上界 (n-k) 有关，在同一上界下对于不同的 (n) 都是一样的结果。把它预处理出来即可 (O(1)) 查询。
时间复杂度为：(O(n^2+Tn)) 。预处理的那个柿子是个卷积的形式，可以用 ( ext{NTT}) 优化到 (O(nlog n))，但意义不大，也过不了加强版。
【Code】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=2003,P=998244353;
int n,T,h[N],Mi[N],jc[N],inv[N],invjc[N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
inv[1]=Mi[0]=jc[0]=jc[1]=invjc[0]=invjc[1]=1,Mi[1]=2;
for(Re i=2;i<=2000;++i)jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%P,inv[i]=(LL)inv[P%i]*(P-P/i)%P,invjc[i]=(LL)invjc[i-1]*inv[i]%P,Mi[i]=(Mi[i-1]<<1)%P;
for(Re i=0;i<=1000;++i)
for(Re j=0;j<=i;++j)
(h[i]+=(LL)((j&1)?P-1:1)*invjc[j]%P*Mi[j]%P*jc[i-j<<1]%P*invjc[i-j]%P*invjc[i-j]%P)%=P;
in(T);
while(T--){
in(n);
for(Re k=0;k<=n;++k)printf("%lld
",(LL)jc[n]*jc[n]%P*invjc[k]%P*Mi[k]%P*h[n-k]%P);
}
}