CF402E Strictly Positive Matrix（矩阵，强联通分量）

题意

给定一个 n∗n 的矩阵 A，每个元素都非负判断是否存在一个整数 k 使得 A^k 的所有元素 >0 n≤2000（矩阵中[i][i]保证为1）

题解

考虑矩阵$A*A$的意义 ，设得到的矩阵为B矩阵中的一个元素$B[i][j]=sum_{k=1}^{n}A[i][k]*A[k][j]$，$A[i][k]*A[k][j]$非负当且仅当$A[i][k]$和$A[k][j]$非负。
这跟$弗洛伊德$差不多，枚举中间点，我们把$A[i][j]$非负理解为一个图中有一条$A$从$i$到$j$的边，$A^k$中$A[i][j]$就代表从i到j有没有一条长度小于等于$k$的路径。
此题本质上就是问根据所给矩阵建图，是否全图为一个强联通分量。
所以就上$Tarjan$模板就行了

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3000;
int cnt,head[N];
int dfn[N],low[N],stack[N],top,tot,vis[N],num,c[N];
int n;
struct edge{
    int to,nxt;
}e[5000000];
void add(int u,int v){
    cnt++;
    e[cnt].nxt=head[u];
    e[cnt].to=v;
    head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    stack[++top]=u;
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(dfn[v]==0){
            Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(vis[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int x;
        num++;
        do{
            x=stack[top--];
            c[x]=num;
            vis[x]=0;
        }while(u!=x);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1,a;j<=n;j++){
            scanf("%d",&a);
            if(i==j||a==0)continue;
            add(i,j);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dfn[i]==0)Tarjan(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(c[i]>1){
            printf("NO");
            return 0;
        }
    }
    printf("YES");
    return 0;
}