2SAT学习笔记

前置知识

强连通分量

例题引入

先来看一个问题：
给定\(n\)个元素，分别是\(a_1,a_2,...,a_n\)
每个\(a_i\)只有\(0\)和\(1\)两种取值，再给定\(m\)个约束条件，
条件的形式都是 "若\(a_x\)为 \(p\)，则\(a_y\)为 \(q\)" 其中\(p,q\) \(\in\) \(\{ {0,1} \}\)
请问是否有一组合法的\(a\)的取值满足以上条件

这就是\(2-SAT\)问题的经典模型。
在\(2-SAT\)中有个十分重要的结论：

• 若\(A\)则\(B\)；可以推出：若非\(B\)，则非\(A\)。
  即每个命题的逆否命题一定成立

例如：若\(a_1\)为\(1\),则\(a_2\)为\(0\)，
那么：若\(a_2\)为\(1\)(不为\(0\)),则\(a_1\)为\(0\)(不为\(1\))。

所以得到上述例题的做法：

1. 编号\(i\)代表\(a_i\)取\(0\),\(i+n\)代表\(a_i\)取\(1\)
2. 对于若\(a_x\)为 \(p\)，则\(a_y\)为 \(q\)，那么让\(x+p*n\)到\(y+q*n\)连边。
   那么我们得出\(a_y\)不为 \(q\)，则\(a_x\)不为 \(p\)(逆否命题)，那么让\(y+(\)~\(q) \times n\) 到 \(x+(\)~\(p) \times n\)连边。 ( \(~\) 代表取反)
3. 求强连通分量，记录每个节点属于哪一个强连通分量。
4. 很显然，属于同一个强连通分量的值都相同，\(i\)不可能与\(i+n\)处于同一个强连通分量
   假如我们求出来\(c\)数组代表每个节点属于哪个强连通分量，
   如果对于任意的\(c_i\)和\(c_{i+n}\)都不相同，那么\(2-SAT\)问题有解，否则无解。

时间复杂度\(O(V+E)\) (\(V\)和\(E\)是建完图后的点数和边数)

性质

通过上述例题，我们发现，因为最先提出的两个命题是成对出现的，
所以我们建出来的图也是具有对称性的，所以建边时必须注意这个性质。
值得一提的是，如果一个元素的值是确定的，那么我们让\(i+n\)向\(i\)或\(i\)向\(i+n\)连边,以便直接产生矛盾。

如何求出一组解

大部分\(2-SAT\)题目都需要输出一组可行解，其中有两种\(2-SAT\)问题的构造方法。
第一种：
因为同一\(SCC\)中的元素值相同，所以其中一个元素的值确定，其他元素的值也是相同的。
我们考虑缩点，把每个\(SCC\)看成一个点，缩点后的图就是一个\(DAG\)。
接下来用拓扑排序遍历整个图。
每次我们需要找出没有出度的点，防止对其他点产生影响。
而通常拓扑排序都是寻找没有入度的点，所以我们需要对原图的反图进行拓扑排序。
代码大致实现：

void topsort(){
	queue<int>q;
	memset(now,tot=0,sizeof(now));
	//建反图 
	for(int i=1;i<=Ed;i++){
		int X=E[i].x,Y=E[i].y;
		if(X!=Y)add(Y,X),deg[X]++;
	}
	//cnt：SCC的个数 
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		if(!deg[i])q.push(i);
	//拓扑排序 
	while(q.size()){
		int u=q.front();q.pop();
		//检查是否已经被赋值
		//opp[u] : 第u个SSC 与它不同的 SSC 
		if(!val[u]){
			val[u]=1;
			val[opp[u]]=2;
		} 
		for(int i=now[u];i;i=pre[i])
			if(!--deg[to[i]])q.push(v);
	}
	//输出一组解 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(val[c[i]]==1)printf("1 ");
		else printf("0 ");
}

第二种：
事实上，\(tarjan\)算法求出来的每个\(SCC\)的编号就是缩点后图的拓扑序。
我们可以直接利用\(SCC\)编号的大小关系确定元素的值，这使得过程非常简单。
代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
    if(c[i]<c[i+n])printf("1 ");
    else printf("0 ");

习题

模板

尝试转换成\(2-SAT\)的限制条件。
很显然，\(x\)为\(p\)或\(y\)为\(q\) \(~~~\) 转换成 \(~~~\) \(y\)不为\(q\)则\(x\)为\(p\)。

[POI2001]Peaceful Commission

模板

poj3678 Katu Puzzle

对于六种情况分别讨论，
特别的，如果是\(a\) \(and\) \(b\) \(=\) \(1\)或\(a\) \(or\) \(b\) = \(0\)，那么\(a,b\)的值是确定的。
那么需要让\(a+n\)向\(a\)或\(a\)向\(a+n\)连边,\(b+n\)向\(b\)或\(b\)向\(b+n\)连边。

poj3683 Priest John's Busiset Day

通过时间是否重叠建图

poj3648Weeding

这题有两种方法：
第一种是用\(0\)和\(1\)代表这个位置是\(h\)还是\(w\)。
第二种是让每个人都有两个取值\(0\)和\(1\)，表示坐新郎这边还是坐新娘那边。

NOI2017游戏

除去\(x\)类图，就是最简单的\(2-SAT\)。
鉴于\(d \leqslant 8\)我们想到直接暴力枚举\(x\);
但\(O(3^d)\)枚举每个 \(x\) 的类型仍然会超时。
我们可以\(O(2^d)\)枚举不适合哪两种车，那么三种车都能包含到。

模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int n,m,cnt;
int pre[N],now[N],to[N],tot;
int sk[N],top;
int low[N],dfn[N],num,c[N];
bool vis[N];
void add(int x,int y){
	pre[++tot]=now[x];
	now[x]=tot;to[tot]=y;
}
void tarjan(int u){
	low[u]=dfn[u]=++num;
	vis[sk[++top]=u]=true;
	for(int i=now[u];i;i=pre[i]){
		int v=to[i];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(vis[v])
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		int v;cnt++;
		do{
			v=sk[top--];
			vis[v]=false;
			c[v]=cnt;
		}while(u!=v);
	}return;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(m--){
		int i,j,a,b;
		scanf("%d%d%d%d",&i,&a,&j,&b);
		if(a&&b)add(i+n,j),add(j+n,i);
		if(!a&&!b)add(i,j+n),add(j,i+n);
		if(!a&&b)add(i,j),add(j+n,i+n);
		if(a&&!b)add(i+n,j+n),add(j,i);
	}
	for(int i=1;i<=2*n;i++)
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(c[i]==c[i+n]){
			puts("IMPOSSIBLE");
			return 0;
		}
	}
	puts("POSSIBLE");
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",(c[i]<c[i+n])?1:0);
	return 0;
}