[SCOI2010]幸运数字

题目描述

在中国，很多人都把6和8视为是幸运数字！lxhgww也这样认为，于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字6和8的那些号码，比如68，666，888都是“幸运号码”！但是这种“幸运号码”总是太少了，比如在[1,100]的区间内就只有6个（6，8，66，68，86，88），于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww规定，凡是“幸运号码”的倍数都是“近似幸运号码”，当然，任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”，比如12，16，666都是“近似幸运号码”。

现在lxhgww想知道在一段闭区间[a, b]内，“近似幸运号码”的个数。

输入输出格式

输入格式：

输入数据是一行，包括2个数字a和b

输出格式：

输出数据是一行，包括1个数字，表示在闭区间[a, b]内“近似幸运号码”的个数

输入输出样例

输入样例#1：

1 10

输出样例#1：

2

说明

对于30%的数据，保证1<=a<=b<=1000000

对于100%的数据，保证1<=a<=b<=10000000000

题解：

容斥原理+dfs

存在左界不难，只要容斥时减去左边的伪幸运数，假设要求[a,b],其中一个因数为p1

只要由b/p1->b/p1-(a-1)/p1

首先dfs求出所有幸运数字，

总方案ans=(b/p1-(a-1)/p)+(b/p2-(a-1)/p)+...-(b/p1p2-(a-1)/p1p2)-......

不过直接dfs显然超时

优化：

1.减小搜索范围，根据容斥原理，可以知道当px|py时,py与px显然重合且py无用，直接去掉，形成新的幸运数组

2.时刻判断lcm(s,x)是否超过r，超过则不选该数x，记住判断时由于数太大，可能会溢出，所以要把判断换一下

 s*x/gcd(s,x)<=r ->s/gcd(s,x)<=(double)r/x这里的double是为防止整形判断有误(应该不会错，但会慢一点)

3.完成以上2步应该是60分，还有关键一点：调整搜索顺序

显然先从大的幸运数开始容斥，会在开始时产生较少的分支，而搜索算法的搜索树靠近根的分支越少就越快

所以将幸运数重新排序就可以AC了，比原来快的多

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol luck[3001],l,r,ans;
int cnt;
bool cmp(lol a,lol b)
{
    return a>b;
}
void dfs_pre(lol s)
{
    if (s>r) return;
    if (s)
    {
    cnt++;
    luck[cnt]=s;
    }
    dfs_pre(s*10+6);
    dfs_pre(s*10+8);
}
lol gcd(lol a,lol b)
{
    if (!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void dfs(int x,lol s,int f)
{
    if (x==0)
    {
        ans+=f*(r/s-(l-1)/s);
        return;
    }
     lol g=gcd(s,luck[x]);    
     if ((double)s/(double)g<=(double)r/(double)luck[x]) dfs(x-1,s/g*luck[x],f*(-1));
     dfs(x-1,s,f);
}
int main()
{int i,j;
    cin>>l>>r;
     dfs_pre(0);
     for (i=1;i<=cnt;i++)
     {
         for (j=1;j<i;j++)
          if (luck[j]!=-1&&luck[i]%luck[j]==0)
            luck[i]=-1;
     }
      sort(luck+1,luck+cnt+1,cmp);
      for (i=cnt;i>=1;i--)
      if (luck[i]==-1) cnt--;
      sort(luck+1,luck+cnt+1);
    dfs(cnt,1,-1);
    cout<<r-l+1+ans;
}