[USACO07NOV]牛继电器Cow Relays

题目描述

给出一张无向连通图，求S到E经过k条边的最短路。

输入输出样例

输入样例#1：

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

输出样例#1：

10
题解：
法1：dp+floyd+倍增
f[i][j][p]为从i到j经过2^p条边
显然f[i][j][p]=min(f[i][k][p-1]+f[k][j][p-1])
如果n不是2的幂也没事，将n进行二进制分解，再用dp转移
ans[x][i]=min(ans[!x][j]+f[i][j][p]) n的二进制第p位为1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,t,s,e,f[201][201][25],ans[2][201],num[1005],pos,logn;
int main()
{int i,d,u,v,p,j,k;
    cin>>n>>t>>s>>e;
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    memset(ans,127/2,sizeof(ans));
    for (i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&d,&u,&v);
        if (!num[u]) num[u]=++pos;
        if (!num[v]) num[v]=++pos;
        f[num[u]][num[v]][0]=f[num[v]][num[u]][0]=d;
    }
     logn=log2(n);
      for (p=1;p<=logn;p++)
      {
            for (k=1;k<=pos;k++)
            {
                for (i=1;i<=pos;i++)
                {
                    for (j=1;j<=pos;j++)
                    {
                        f[i][j][p]=min(f[i][j][p],f[i][k][p-1]+f[k][j][p-1]);
                    }
                }
            }
      }
      t=0;p=0;
      ans[0][num[s]]=0;
        while (n)
        {
            if (n&1)
            {
                t=!t;
                 for (i=1;i<=pos;i++)
                 {ans[t][i]=2e9;
                    for (j=1;j<=pos;j++)
                    {
                        ans[t][i]=min(ans[t][i],ans[!t][j]+f[i][j][p]);
                    }    
                 }
            }
            p++;
            n/=2;
        }
    cout<<ans[t][num[e]];
}

法二：矩阵乘法

可知用邻接矩阵表示时，floyd的过程可以视为矩阵运算，且满足交换律

意思就是先求出走1条边的矩阵，再求出找4条边矩阵

等价于先求出走2条边的矩阵，在求出找3条边矩阵

重载矩阵乘法为floyd的过程，做快速幂就行

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,t,s,e,f[201][201],num[1005],pos;
struct mat
{
    int s[101][101];
    mat()
    {int i,j;
        for (i=1;i<=pos;i++)
         for (j=1;j<=pos;j++)
         s[i][j]=1e9;
    }
     mat operator*(const mat &x)
     {int i,j,k;
        mat ans;
        for (k=1;k<=pos;k++)
        {
            for (i=1;i<=pos;i++)
             {
                for (j=1;j<=pos;j++)
                {
                    ans.s[i][j]=min(ans.s[i][j],s[i][k]+x.s[k][j]);
                }
             }
        }
        return ans;
     }
}S,T;
int main()
{int i,j,d,u,v;
    cin>>n>>t>>s>>e;
    for (i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&d,&u,&v);
        if (!num[u]) num[u]=++pos;
        if (!num[v]) num[v]=++pos;
        f[num[u]][num[v]]=f[num[v]][num[u]]=d;
    }
    mat S,T;
    for (i=1;i<=pos;i++)
    for (j=1;j<=pos;j++)
    if (f[i][j])
     S.s[i][j]=T.s[i][j]=f[i][j];
      n--;
      while (n)
      {
            if (n&1)
            {
                S=S*T;
            }
            T=T*T;
            n>>=1;
      }
    cout<<S.s[num[s]][num[e]];
}