10月3日,在杭州市西湖景区,一只小松鼠不停地接受一道道食物,花生、
玉米、饼干,可谓来者不拒,憨态可掬的模样吸引了众多围观者...
Description
小松鼠打了10个小时的游戏,一脸满足。却发现周围再次围满了游客,
逃!
她发现整个西湖内的松鼠都以相同的速度在树之间跳跃。每跳跃一次花
费一个单位的时间。我们可以把西湖抽象为一张n个点的无向图,初始时
每个点上都有若干只松鼠,它们每单位时间都可以沿着一条无向边进行跳
跃。
对于一只当前在点i的松鼠,它在接下来的一个单位时间内等概率向相邻
的点跳跃。更具体地讲,我们称与点i通过一条无向边直接相连的点为与i相
邻的点,假设这样的点有p个,那么对于每一个与i相邻的点,在下一时刻都
有 1/p 的概率跳到它。
超萌小松鼠已知初始时刻(0时刻)每棵树上的松鼠分布情况,她想知道
在T时刻,在同一棵树上的松鼠对数的期望。关于“松鼠对数”的解释:假
设有4只松鼠在同一棵树上,那么我们称有6对在同一棵树上的松鼠。
为了避免精度误差,我们将答案模10^9 + 7输出。
Input
第一行三个数n, T 。 意义如题面中所述。 接下来一行n个数, 第i个
数a i 表示第i个点初始时刻有a i 只松鼠。 接下来n行,每行n个数,第i行
第j个数如果为1表示点i与点j间有无向边相连,为0则表示没有。
Output
输出一行一个数,表示T时刻在同一棵树上的松鼠对数的期望在模10 9 +
7意义下的答案。6
Constraints
对于前30%,n <= 10, T <= 30
对于前50%,n <= 100, T <= 30
对于100%,n <= 100, T <= 10^9
题解：
大家能够发现，尽管可能大家最先想到的计算松鼠对数的方法，是根据树上的松鼠总数x，
通过x * (x - 1) / 2来得到。但不妨考虑一下一个更一般的方法：
枚举一只松鼠，再枚举另一只松鼠，如果它们在同一棵树上则答案加一。
从这个方法中能够得到的启示是：松鼠对数这个量实际上是相对独立的，即与这两只松鼠之外的量并无直接的关系。这样就避免了我们陷入一味考虑如何计算“松鼠期望总数”的错误方向了。
枚举一只松鼠A，再枚举另一只松鼠B，考虑它们同时存在在树i上的情况。
假设松鼠A在树i上的概率为P(A, i)， 松鼠B在树i上的概率为P(B, i)
则它们同时存在于树i上的概率为P(A, i) * P(B, i)
而这一事件构成了“1对结束时在同一棵树上的松鼠”
因此对答案的贡献是 P(A, i) * P(B, i) * 1
我们只需要对于每一对松鼠枚举一下树i，然后对这些东西求和计入答案就可以了。
考虑如何计算P（A,i）。我们不妨假设f(i, j)为一只松鼠从点i出发，在点j停下的概率。
当T = 0时，f[i][i]均为1.0，每过一个单位时间时，考虑f[i][j]即松鼠当前在j时的概率
根据题中的描述向j的相邻点转移。
这样能够得到所有T <= 30的分数
观察可知，每次的转移事实上都是一样的。于是我们可以使用矩阵乘法来优化这个转移过程。
100分是给n^2计算期望的方法
首先
我们要求的是E(1)*E'(1)/2+E(1)*E(2).....+E(1)*E(n)+E(2)*E'(2)/2+E(2)*E(3)....
E'指的是少一个松鼠的期望
如果直接枚举终点和两端点，将是n^3
但可以这样：原式=[(E(1)+E(2)+E(3)+E(4).....)^2-E(1)(E(1)-E'(1))-E(2)(E(2)-E'(2))....]/2
显然E(1)-E'(1)=f[][]
枚举终点和一个端点就行了
题目中要求取模，要除的话直接模逆元
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 struct Matrix 8 { 9 lol a[1002][1002]; 10 }Mat,ans; 11 int Mod=1000000007; 12 lol n,T; 13 lol v[1001]; 14 int map[1001][1001]; 15 lol A[1001],f[1001][1001],anss; 16 Matrix operator *(const Matrix &x,const Matrix &y) 17 { 18 Matrix res; 19 int i,j,k; 20 memset(res.a,0,sizeof(res.a)); 21 for (i=1;i<=n;i++) 22 { 23 for (j=1;j<=n;j++) 24 { 25 for (k=1;k<=n;k++) 26 { 27 res.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%Mod; 28 res.a[i][j]%=Mod; 29 } 30 } 31 } 32 return res; 33 } 34 void pow(int x) 35 {int i; 36 for (i=1;i<=n;i++) 37 ans.a[i][i]=1; 38 while (x) 39 { 40 if (x&1) ans=ans*Mat; 41 Mat=Mat*Mat; 42 x/=2; 43 } 44 } 45 int main() 46 {int i,j; 47 cin>>n>>T; 48 for (i=1;i<=n;i++) 49 { 50 scanf("%lld",&v[i]); 51 } 52 for (i=1;i<=n;i++) 53 { 54 for (j=1;j<=n;j++) 55 { 56 scanf("%d",&map[i][j]); 57 } 58 } 59 A[1]=1; 60 for (i=2;i<=1000;i++) 61 A[i]=((Mod-Mod/i)*A[Mod%i])%Mod; 62 memset(Mat.a,0,sizeof(Mat.a)); 63 for (i=1;i<=n;i++) 64 { 65 int cnt=0; 66 for (j=1;j<=n;j++) 67 if (map[i][j]) cnt++; 68 for (j=1;j<=n;j++) 69 if (map[i][j]) Mat.a[i][j]=A[cnt]; 70 } 71 if (T>1) 72 pow(T); 73 for (i=1;i<=n;i++) 74 { 75 for (j=1;j<=n;j++) 76 f[i][j]=ans.a[i][j]; 77 } 78 if (T==1) 79 for (i=1;i<=n;i++) 80 for (j=1;j<=n;j++) 81 f[i][j]=Mat.a[i][j]; 82 for (i=1;i<=n;i++) 83 { 84 lol ret1=0,ret2=0,ret3; 85 for (j=1;j<=n;j++) 86 { 87 lol tmp=(f[j][i]*v[j])%Mod; 88 ret1=(ret1+tmp)%Mod; 89 ret2=(ret2+tmp*f[j][i])%Mod; 90 } 91 ret3=((ret1*ret1)%Mod-ret2+Mod)%Mod; 92 anss+=(ret3*A[2])%Mod; 93 anss%=Mod; 94 } 95 cout<<anss; 96 }