BZOJ 4916 神犇和蒟蒻

Description

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;

很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

Input

请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;

Output

请你输出一个整数A=sum_{i=1}^N{mu (i^2)};

请你输出一个整数B=sum_{i=1}^N{varphi (i^2)};

Sample Input

Sample Output

1
1

第一问很好笑，众所周知，μ(i*j)如果gcd(i,j)!=1,那么μ(i*j)就是0

也就是说，第一问无论n多大就是1

第二问可以转化为$sum_{i=1}^ni*phi(i)$

这是从定义式推来的

令

$f[n]=n*phi(n)$

$S[n]=sum_{i=1}^ni*phi(i)$

然后就是杜教筛

$g(1)S(n)=sum_{i=1}^n(f*g)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i})$

$sum_{i=1}^n(f*g)(i)$
$=sum_{i=1}^nsum_{d|i}f(frac{i}{d})g(d)$
$=sum_{i=1}^nsum_{d|i}frac{i}{d}phi(frac{i}{d})g(d)$

因为$sum_{d|i}phi(d)=i$
所以令g(x)=x
$=sum_{i=1}^n{i}sum_{d|i}phi(frac{i}{d})$
$=sum_{i=1}^ni^2$

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<map>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long lol;
 9 int N=8000000,Mod=1e9+7,inv6;
10 int prime[1000001],phi[8000000+5],n,tot;
11 bool vis[8000000+5];
12 map<int,int> M;
13 int qpow(int x,int y)
14 {
15   int res=1;
16   while (y)
17     {
18       if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
19       x=1ll*x*x%Mod;
20       y>>=1;
21     }
22   return res;
23 }
24 int query(int x)
25 {int i,pos;
26   if (x<=N) return phi[x];
27   if (M[x]) return M[x];
28   int as=1ll*(x+1)*x%Mod*(2*x+1)%Mod*inv6%Mod;
29   for (i=2;i<=x;i=pos+1)
30     {
31       pos=x/(x/i);
32       as-=(1ll*(pos+i)*(pos-i+1)/2)%Mod*query(x/i)%Mod;
33       as=(as+Mod)%Mod;
34     }
35   return M[x]=as;
36 }
37 void pre()
38 {int i,j;
39   phi[1]=1;
40   for (i=2;i<=N;i++)
41     {
42       if (vis[i]==0)
43     {
44       prime[++tot]=i;
45       phi[i]=i-1;
46     }
47       for (j=1;j<=tot;j++)
48     {
49       if (1ll*i*prime[j]>N) break;
50       vis[i*prime[j]]=1;
51       if (i%prime[j]==0)
52         {
53           phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*prime[j]%Mod;
54           break;
55         }
56       else phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*(prime[j]-1)%Mod;
57     }
58     }
59   for (i=1;i<=N;i++)
60     {
61       phi[i]=(1ll*i*phi[i]%Mod+phi[i-1])%Mod;
62     }
63 }
64 int main()
65 {
66   cin>>n;
67   cout<<1<<endl;
68   N=min(N,n);
69   pre();
70   inv6=qpow(6,Mod-2);
71   printf("%d
",query(n));
72 }