[HAOI2006]数字序列

题目描述

现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。

输出格式：

第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。

第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4
5 2 3 5

输出样例#1： 复制

1
4

说明

【数据范围】

90%的数据n<=6000。

100%的数据n<=35000。

保证所有数列是随机的。

一份讲解的链接

先将数组每一位a[i]减i

这样单调上升就变成了不下降

在给第n+1位加一个正无穷的值(可以做所有子串的结尾，用于统计第2问的答案)

第一问：求最长不下降串长L

答案就是n-L

第二问：首先令f[i]表示1～i的最长不下降长度，g[i]为将1～i变为不下降的代价

对于一对(i,j)且f[i]=f[j]+1

设w(i,j)为将j+1~i变为单调不下降的最小代价

有一个结论：

找到一个断点k

j+1~k全部变成a[j],k+1~i全部变成a[i]

这样一定可以找到这个最小代价

证明见链接

这个复杂度很玄学，最坏O(n^3)，但数据是随机的，所以远远达不到

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
struct Node
{
  int next,to;
}edge[100001];
int L,n,head[40001],num,Min[40001],a[40001];
lol s1[40001],s2[40001],g[40001],f[40001];
void add(int u,int v)
{
  num++;
  edge[num].next=head[u];
  head[u]=num;
  edge[num].to=v;
}
int find(int x)
{
  int l=0,r=L,as=0;
  while (l<=r)
    {
      int mid=(l+r)/2;
      if (Min[mid]<=x) as=mid,l=mid+1;
      else r=mid-1;
    }
  return as;
}
int main()
{int i,j,k;
  cin>>n;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&a[i]);
      a[i]-=i;
    }
  ++n;
  a[n]=(1<<30);
  memset(Min,127,sizeof(Min));
  Min[0]=-1<<30;L=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      int t=find(a[i]);
      f[i]=t+1;
      L=max(L,t+1);
      Min[t+1]=min(Min[t+1],a[i]);
    }
  cout<<n-L<<endl;
  for (i=n;i>=0;i--)
    {
      add(f[i],i);
      g[i]=1ll<<60;
    }
  a[0]=-1<<30;g[0]=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      for (j=head[f[i]-1];j;j=edge[j].next)
    {
      int v=edge[j].to;
      if (v>i) break;
      if (a[v]>a[i]) continue;
      for (k=v;k<=i;k++)
        s1[k]=abs(a[k]-a[v]),s2[k]=abs(a[k]-a[i]);
      for (k=v+1;k<=i;k++)
        s1[k]+=s1[k-1],s2[k]+=s2[k-1];
      for (k=v;k<i;k++)
        g[i]=min(g[i],g[v]+s1[k]-s1[v]+s2[i]-s2[k]);
    }
    }
  cout<<g[n];
}