[HNOI2012]双十字

题目描述

在C 部落，双十字是非常重要的一个部落标志。所谓双十字，如下面两个例子，由两条水平的和一条竖直的”1“线段组成，要求满足以下几个限制： ![] 我们可以找到 5 个满足条件的双十字，分别如下：  注意最终的结果可能很大，只要求输出双十字的个数 mod 1,000,000,009 的值·两条水平的线段不能在相邻的两行。·竖直线段上端必须严格高于两条水平线段，下端必须严格低于两条水平线段。 ·竖直线段必须将两条水平线段严格划分成相等的两半。·上方的水平线段必须严格短于下方的水平线段。 所以上面右边的例子是满足要求的最小的双十字。现在给定一个 R*C的01 矩阵，要求计算出这个 01 矩阵中有多少个双十字。例如下面这个例子，R=6,C=8，01 矩阵如下：

输入输出格式

输入格式：

第一行为用空格隔开的两个正整数 R和C，分别表示01矩阵的行数和列数。输入文件第二行是一个非负整数N,表示01矩阵中”0“的个数。接下来的N行，每行为用空格隔开的两个正整数x和y(1<=x<=R,1<=y<=C)，表示(x,y)是一个”0“。数据保证N个”0“的坐标两两不同。数据保证R,C,N<=10,000,R*C<=1,000,000.(事实上R*C可能稍大于原设定)

输出格式：

D mod 1,000,000,009 的结果，其中D 为要求的 01矩阵中双十字的个数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6  8
12
1  2
1  3
1  4
1  6
2  2
3  2
3  3
3  4
3  7
6  4
6  6
4  8

输出样例#1： 复制

5

因为10000×10000存不下，所以用编号代替坐标

首先DP求出L,R,U,D数组表示左右上下有多少个连续的1

一个点左右可拓展的长度应当是min(L,R)

枚举十字架中心在第几列

当了某一行，考虑以它作于下面一个横线的方案数

$sum_{len=1}^{L[i]} min(L[j], len-1)×D[i]×(j-top)$

把min拆掉：

1.当len-1<=L[j],则$sum_{len=1}^{L[i]} L[j]×D[i]×(j-top)$

2.当len-1>L[j]，则$sum_{len=1}^{L[i]} (len-1)×D[i]×(j-top)$

可以变成：

1.当L[j]<=L[i],贡献$(L[i]-(L[j]+1)/2)×D[i]×(j-top)×L[j]$

2.当L[j]>L[i]，贡献$L[i]×(L[i]-1)/2×D[i]×(j-top)$

维护3个树状数组，分别维护：

$(j-top)$

$(j-top)*L[j]$

$(j-top)*L[j]*L[j]$

每一次碰到0或算完一列的答案要给树状数组清0

因为十字架上面的横线不能是i-1，所以考虑先算完i，再加入i-1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int mp[1500001],U[1500001],D[1500001],L[1500001],R[1500001],n,r,c;
int Mod=1e9+9,f1[50001],f2[50001],f3[50001],inv2,top,ans,ed;
int get_id(int x,int y)
{
  return c*(x-1)+y;
}
int qpow(int x,int y)
{
  int res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void add1(int x,int d,int N)
{
  if (x==0) return;
  while (x<=N)
    {
      f1[x]+=d;
      if (f1[x]>=Mod) f1[x]-=Mod;
      x+=x&(-x);
    }
}
void add2(int x,int d,int N)
{
  if (x==0) return;
  while (x<=N)
    {
      f2[x]+=d;
      if (f2[x]>=Mod) f2[x]-=Mod;
      x+=x&(-x);
    }
}
void add3(int x,int d,int N)
{
  if (x==0) return; 
  while (x<=N)
    {
      f3[x]+=d;
      if (f3[x]>=Mod) f3[x]-=Mod;
      x+=x&(-x);
    }
}
int query1(int x)
{
  int s=0;
  while (x)
    {
      s+=f1[x];
      if (s>=Mod) s-=Mod;
      x-=(x&(-x));
    }
  return s;
}
int query2(int x)
{
  int s=0;
  while (x)
    {
      s+=f2[x];
      if (s>=Mod) s-=Mod;
      x-=(x&(-x));
    }
  return s;
}
int query3(int x)
{
  int s=0;
  while (x)
    {
      s+=f3[x];
      if (s>=Mod) s-=Mod;
      x-=(x&(-x));
    }
  return s;
}
int get_van(int x,int y,int N)
{
  int t=L[get_id(x,y)];
  int as=0;
  int s2=query2(t),s3=query3(t);
    as=(1ll*t*s2%Mod-1ll*(s3+s2)%Mod*inv2%Mod+Mod);
  if (as>=Mod) as-=Mod;
  int s1=(query1(N)-query1(t)+Mod);
  if (s1>=Mod) s1-=Mod;
  as=(as+1ll*t*(t-1)%Mod*inv2%Mod*s1%Mod);
  if (as>=Mod) as-=Mod;
  return 1ll*as*D[get_id(x,y)]%Mod;
}
void update(int x,int y,int N)
{
  int t=L[get_id(x,y)];
  add1(t,x-top,N);
  add2(t,1ll*(x-top)*t%Mod,N);
  add3(t,1ll*(x-top)*t%Mod*t%Mod,N);
}
int main()
{int i,j,x,y,l;
  cin>>r>>c;
  cin>>n;
  inv2=qpow(2,Mod-2);
  memset(mp,-1,sizeof(mp));
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d%d",&x,&y);
      mp[get_id(x,y)]=0;
    }
  for (i=1;i<=r;i++)
    {
      for (j=1;j<=c;j++)
    　　{
      　　if (mp[get_id(i,j)]==-1)
        　　mp[get_id(i,j)]=1;
    　　}
    }
  for (i=1;i<=r;i++)
    {
      L[get_id(i,1)]=0;
      for (j=2;j<=c;j++)
      if (mp[get_id(i,j-1)]==1&&mp[get_id(i,j)]==1) L[get_id(i,j)]=L[get_id(i,j-1)]+1;
      else L[get_id(i,j)]=0;
      R[get_id(i,c)]=0;
      for (j=c-1;j>=1;j--)
      if (mp[get_id(i,j+1)]==1&&mp[get_id(i,j)]==1) R[get_id(i,j)]=R[get_id(i,j+1)]+1;
      else R[get_id(i,j)]=0;
      for (j=1;j<=c;j++)
    　　L[get_id(i,j)]=min(L[get_id(i,j)],R[get_id(i,j)]);
    }
  for (j=1;j<=c;j++)
    {
      U[get_id(1,j)]=0;
      for (i=2;i<=r;i++)
    　　if (mp[get_id(i-1,j)]==1&&mp[get_id(i,j)]==1) U[get_id(i,j)]=U[get_id(i-1,j)]+1;
    　　else U[get_id(i,j)]=0;
      D[get_id(r,j)]=0;
      for (i=r-1;i>=1;i--)
      if (mp[get_id(i+1,j)]==1&&mp[get_id(i,j)]==1) D[get_id(i,j)]=D[get_id(i+1,j)]+1;
      else D[get_id(i,j)]=0;
    }
  for (j=1;j<=c;j++)
    {top=0;
      ed=min(c-j,j-1);
      for (l=0;l<=ed;l++)
    f1[l]=f2[l]=f3[l]=0;
      for (i=1;i<=r;i++)
    　　{
      　　if (top==0&&mp[get_id(i,j)]==1) top=i;
      　　if (mp[get_id(i,j)]==0&&top)
        　　{
          　　for (l=0;l<=ed;l++)
        　　f1[l]=f2[l]=f3[l]=0;
          　　top=0;
          　　continue;
        　　}
      　　if (top==0) continue;
      　　if (i==top) continue;
      　　if (i-top>=3&&L[get_id(i,j)]>1)
        　　{
          　　ans=ans+get_van(i,j,ed);
          　　if (ans>=Mod) ans-=Mod;
        　　}
      　　if (i-1!=top&&L[get_id(i-1,j)]>0)
        　　update(i-1,j,ed);
    　　}
    }
  cout<<ans;
}