随机游走

题目描述

给定一张有 nn个点 mm条边的图，生成 1∼n1sim n的全排列，假设一个排列是 pp， SS是当前最大独立集；如果 S∪pi是独立集就令 S=S∪piS=Scup {p_i} ；求这 n!n!个独立集有多少个为最大独立集，答案对 998244353取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数 n,mn,m 接下来 mm 行，每行两个整数 x,yx,y，表示 x,yx,y之间有边

输出格式：

一行，即总个数

输入输出样例

输入样例#1： 

5 4
1 2
2 3
3 4
4 5

输出样例#1： 

56

说明

n<=20,m<=400

暴力枚举所有排列大概是30分

可以这样

$f[S_1][S_2]$表示第前几个点加入独立集的状态为$S_1$,未加入为$S_2$

复杂度大概是$O(n*4^{n})$

但我们发现实际上第二维没什么用

我们令一个独立集所有的相邻点为相邻点集

那么如果要在数列中放相邻点集，那么显然无所谓放哪个，反正没有影响

如果选了非相邻点集，那么相邻点集显然会在原来基础上扩大

于是我们设

$f[S][k]$表示独立集状态为S，选了k个相邻点

$t[S]$表示S状态有多少相邻点

那么转移分两种：

1.选相邻点：

$f[S][k+1]+=f[S][k]*(t[S]-k)$

2.选独立点

$f[S|(1<<i)][k]+=f[S][k]$

于是复杂度就变成了$O(n^{2}*2^{n})$且常数很小

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int f[1<<21][21],ans,n,m,vv[21],vis[21],t[1<<21],s[1<<21],pd[1<<21],o[1<<21],pw[21],num[1<<21],Mod=998244353,Max,cnt,p[1<<21];
int main()
{int i,j,u,v,flag,l,k;
  cin>>n>>m;
  for (i=1;i<=n;i++)
    pw[i]=1<<(i-1);
  for (i=1;i<=m;i++)
    {
      scanf("%d%d",&u,&v);
      s[u]|=pw[v];
      s[v]|=pw[u];
    }
  for (i=0;i<(1<<n);i++)
    {
      int tmp=0;
      pd[i]=1;
      for (j=1;j<=n;j++)
    　　if ((pw[j]&i)&&(s[j]&i)) pd[i]=0;
      　　if (pd[i])
    　　　　{
      　　　　tmp=0;
      　　　　for (j=1;j<=n;j++)
        　　　　if (i&pw[j])
          　　　　o[i]|=s[j],tmp++;
      　　　　num[i]=tmp;
      　　　　tmp=0;
      　　　　for (j=1;j<=n;j++)
        　　　　if (o[i]&pw[j])
          　　　　tmp++;
      　　　　t[i]=tmp;
    　　　　}
    }
  f[0][0]=1;
  for (i=0;i<(1<<n);i++)
    if (pd[i])
    {
      for (k=0;k<=t[i];k++)
    　　{
      　　for (j=1;j<=n;j++)
        　　if (!(i&(1<<j-1)))
          　　{
        　　　　if (!(i&p[i]))
        　　　　f[i|(1<<j-1)][k]=(f[i|(1<<j-1)][k]+f[i][k])%Mod;
          　　}
      　　if (k!=t[i])
        　　{
          　　f[i][k+1]+=1ll*f[i][k]*(t[i]-k)%Mod;
          　　f[i][k+1]%=Mod;
        　　}
    　　}
    }
  Max=0;ans=0;
  for (i=0;i<(1<<n);i++)
    {
      cnt=num[i];
      if (cnt>Max)
    　　{
      　　Max=cnt;
      　　ans=f[i][t[i]];
      　　ans%=Mod;
    　　}
      else if (cnt==Max)
    　　{
      　　ans+=f[i][t[i]];
      　　ans%=Mod;
    　　}
    }
  cout<<ans;
}

给定一张有n个点m条边的图，生成1-n的全排列,假设一个排列是p,S是当前最大独立集;如果S∪{pi}是独立集就令S=S∪{pi};求这n!

个独立集是最大独立集的概率，答案对998244353取膜。