[HAOI2015]数字串拆分

题目描述

你有一个长度为n的数字串。定义f(S)为将S拆分成若干个1~m的数的和的方案数，比如m=2时，f(4)=5，分别为4=1+1+1+1你可以将这个数字串分割成若干个数字（允许前导0），将他们加起来，求f，并求和。比如g(123)=f(1+2+3)+f(1+23)+f(12+3)+f(123)。已知字符串和m后求答案对998244353（7*17*223+1，一个质数）取模后的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个字符串，第二行输入m

输出格式：

仅输出一个数表示答案

输入输出样例

输入样例#1： 复制

123
3

输出样例#1： 复制

394608467

说明

对于100%的数据，字符串长度不超过500，m<=5

先求出$f[s]$

显然$f[i]=sum_{j=i-m}^{i-1}f[j]$

如果i特别大就可以用一个m*m的转移矩阵

也就是$(f_{i-m+1},f_{i-m+2},...f_{i})$的转移矩阵

预处理出A[i][j]表示数S为j*10^i的转移矩阵

对于$g$的转移：

显然$g[i]=sum_{j=0}^{i-1}g[j]*D[j+1][i]$

$D[j+1][i]$表示j+1~i位构成的数的转移矩阵，显然可以通过A推出

g也要用一个矩阵表示

g[0]初始矩阵使$g_0=1$,也就是$(0,0,..,0,1)$

最后输出矩阵中代表$g_n$的方案，位置是(1,m)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int Mod=998244353;
struct Matrix
{
    int a[6][6];
}f[501],A[501][10],now;
char s[502];
int n,m,ans;
Matrix operator *(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
    int i,j,l;
    Matrix res;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for (i=1; i<=m; i++)
    {
        for (j=1; j<=m; j++)
        {
            for (l=1; l<=m; l++)
            {
                res.a[i][j]+=1ll*a.a[i][l]*b.a[l][j]%Mod;
        　　　　if (res.a[i][j]>=Mod)
        　　　　res.a[i][j]-=Mod;
            }
        }
    }
    return res;
}
Matrix operator +(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
    int i,j,l;
    Matrix res;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for (i=1; i<=m; i++)
    {
        for (j=1; j<=m; j++)
        {
      　　res.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%Mod;
        }
    }
    return res;
}
int main()
{int i,j;
  cin>>s+1;
  n=strlen(s+1);
  cin>>m;
  for (i=1;i<=m;i++)
    {
      A[0][0].a[i][i]=1;
    }
  for (i=1;i<=m;i++)
    {
      A[0][1].a[i][m]=1;
    }
  for (i=1;i<m;i++)
    {
      A[0][1].a[i+1][i]=1;
    }
  for (i=2;i<=9;i++)
    {
      A[0][i]=A[0][i-1]*A[0][1];
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      A[i][0]=A[0][0];
      A[i][1]=A[i-1][9]*A[i-1][1];
      for (j=2;j<=9;j++)
    　　{
      　　A[i][j]=A[i][j-1]*A[i][1];
    　　}
    }
  f[0].a[1][m]=1;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      now=A[0][s[i]-'0'];
      for (j=i-1;j>=0;j--)
    　　{
      　　f[i]=f[i]+(f[j]*now);
      　　if (j) now=A[i-j][s[j]-'0']*now;
    　　}
    }
  ans=f[n].a[1][m];
  cout<<ans;
}