几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线

几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线

目录

• 几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线
  • Bezier曲线
    • Bernstein基函数
    • Bezier曲线
    • Bernstein基函数与Bezier曲线的性质
    • De casteljau algorithm
    • 几何样条曲线
  • B样条
    • 样条曲线的统一表达
      • 基函数
      • B-spline curve
      • The de Boor algorithm

Bezier曲线

建模的两种形式：

1. 重建（Reconstruction）
   • 逆向工程：形状已有，要将其“猜”出来
   • 采样->拟合：需要函数空间足够丰富（表达能力够）
   • 代数观点：{a,b,c}作为基函数的组合权系数
2. 设计（Design）
   • 自由设计：凭空产生，或从一个简单的形状编辑得到
   • 交互式编辑：几何直观性要好
   • 几何观点：基函数{t²,t,1}作为控制点的组合权系数

二次多项式曲线（抛物线）：

[f(y)=at^2+bt+c\ ]

使用幂基表示曲线

[f(t)= egin {pmatrix} x(t)\t(t) end {pmatrix}= egin {pmatrix} 1\1 end {pmatrix}t^2+ egin {pmatrix} -2\0 end {pmatrix}t+ egin {pmatrix} 1\0 end {pmatrix} ]

使用Bernstein基函数表达

[f(t)= egin {pmatrix} x(t)\t(t) end {pmatrix}= egin {pmatrix} 1\0 end {pmatrix}(1-t)^2+ egin {pmatrix} 0\0 end {pmatrix}2t(t-1)+ egin {pmatrix} 0\1 end {pmatrix}t^2 ]

系数顶点与曲线关联性强，具有很好的几何意义，对于交互式曲线设计更直观.

Bernstein基函数

n次Bernstein基函数：(B=({B_0^{(n)}, B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}}))

[B_i^{(n)}=egin {pmatrix} n\i end {pmatrix}t^i(1-t)^{n-i}=B_{i-th basis function}^{(degree)}\ egin {pmatrix} n\i end {pmatrix}= egin {cases} frac {n!}{(n-i)!i!} &for 0 le i le n \ 0 & otherwise end {cases} ]

性质：

• 对称性：(B_i^n(t)=B_{n-1}^n(1-t))

• (B_i^{(n)})在(t=frac{i}{n})达到最大值

用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义

[f(t)=sum_{i=1}^n b_i(t)p_i ]

Bezier曲线

n次Berzier曲线：n+1个控制点

[x(t)=sum_{i=0}^n B_i^n(t)·b_i ]

Berzier曲线的性质来源于Bernstein基函数的性质。

Bernstein基函数与Bezier曲线的性质

• 正权性：正性+权性

  • (B_i^{(n)}(t) ge 0,tin [0,1])
  • (sum_{i=1}^n B_i^{(n)}(t) = 1,tin [0,1])

• 基性：B是次数不高于n的多项式集合（空间）的一组基

• 递推公式：

  • 基函数的递推公式：(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t) quad B_0^0(t)=1,B_i^{(n)}(t)=0quad forquad i otin{0...n})
  • 高阶的基函数由两个低阶的基函数“升阶”得到，利于保持一些良好的性质

• 端点插值性：Bezier曲线经过首位两个控制顶点

• 导数：

  • (f'(t)=nsum_{i=0}^{n-1}B_i^{n-1}(t)(p_{i+1}-p_i))
  • (f^{[r]}(t)=frac{n!}{(n-r)!}sum_{i=0}^{n-r}B_i^{n-r}(t)· Delta ^rp_i)

  Bezier曲线的端点性质

  • 端点插值：
  • 端点的切线方向与边相同
  • 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关

• 升阶：((1-t)B_i^n(t)=(1-frac{i}{n+1})B_i^{n+1}(t)) => (tB_i^n(t)=frac{i+1}{n+1}B_i^{n+1}(t))

  Bezier曲线升阶：$$f(t)=sum_{i=0}^{n+1}B_i{n+1}(t)[frac {n+1-i}{n+1}P_i+frac{i}{n+1}P_{i-1}]$$

De casteljau algorithm

根据基函数的递推公式：(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t))

给定一个t，就能求出x(t)：(b_i^{(r)}=(1-n)b_i^{r-1}+tb_{i+1}^{(r-1)})

几何样条曲线

两Bezier曲线的拼接条件：

C⁰:

G¹：三点共线

C¹：三点共线且等长

C²：(d^2/dt^2)为((p_2-2p_1+p_0),(p_n-2p_{n-1}+p_{n-2})),阴影三角形相似

构造3次插值Bezier曲线的几何方法

工程中，在点p_i（0<i<n）处，作p_i-1和p_i+1连线的平行线，取1/6的位置作为控制点。一段曲线由四个点约束。

B样条

Bezier曲线（Bernstein基函数）存在全局性，不利于设计。

B样条曲线：分段Bezier曲线，具有局部性。

样条曲线的统一表达

基函数

均匀结点（Uniform）

[N_i^1=egin{cases}1,&ile t le i+1 \0,&otherwiseend{cases}\ N_i^k=frac{t-i}{(i+k-1)-i}N_i^{k-1}(t)+frac{(i+k)-t}{(i+k)-(i+1)}N_{i+1}^{k-1}(t)\ =frac{t-i}{k-1}N_i^{k-1}(t)+frac{i+k-t}{k-1}N_{i+1}^{k-1}(t) ]

非均匀结点（(t_0<t_1<....<t_n<...t_{n+k})）

[N_{i,1}=egin{cases}1,&t_ile t le t_{i+1} \0,&otherwiseend{cases}\ N_{i,k}=frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)+frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{{i+1},{k-1}}(t)\ for quad k > 1quad i=0...n ]

性质：

• (N_{i,k}(t)>0) for (t_i<t<t_{i+k})（局部性）
• (sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)=1) for (t_{k-1}le t le t_{n+1}) (权性)
• (N_{i,k}(t))在(t_j)处是C^k-2

B-spline curve

给定n+1个控制点，(d_0,...d_nin R^3)，(T=(t_0,...t_{n+k}))称为向量节点。

[x(t)=sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)·d_i ]

每多出一个重结点（Multiple knots），曲线的光滑性降一阶。

例如，k=4，n=5的B-spline curve

k重时（0,...,0,1,...,1）为Bernstein基。

The de Boor algorithm