【知识点】康托展开

注意：本文所有的排名均是从第0名开始。 

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康托展开：

已知一个$1—n$的排列$A={a_1,a_2,cdots,a_n}$，求它在所有排列中的字典序排名。

常用于将$n$的全排列映射到$n!$个自然数中。

求解这个问题的思路大概是下面这样的：

$(1)$ $A$的排名=字典序小于$A$的排列个数。所以只需要知道有多少个排列比$A$小就好了。

$(2)$ 我们按位考虑，第一位小于$a_1$的所有排列肯定比$A$小，这部分有$(a_{1}-1) imes (n-1)!$个。

$(3)$ 在第一个数等于$a_1$的所有排列中，第二位小于$a_2$的所有排列也肯定比$A$小。

　   那么这部分有$(a_{2}-1) imes (n-2)!$个对不对？

　   但是这个时候出现了一个问题：

　   如果$a_{1}<a_{2}$，那么第二位就不能再用$a_1$这个数了（因为是排列）。

　   所以应该有$(a_{2}-2) imes (n-2)!$个。

　   当然如果$a_{1}>a_{2}$就不需要额外$-1$了。

$(4)$ 现在我们把$(3)$的结论推广，

　   前$i-1$位与$A$相同且第$i$位小于$A$的排列，共有$(a_{i}-cnt_{i}-1) imes (n-i)!$个。

　   其中$cnt_i$表示前$i-1$个数${a_{1},a_{2},cdots ,a_{i-1}}$中小于$a_i$的个数。

　   显然所有这样的排列加起来就是比$A$小的排列总数（有序统计）。

$(5)$ 注意到$a_{i}-cnt_{i}-1$还等于后$n-i$个数${a_{i+1},a_{i+2},cdots ,a_{n}}$中小于$a_i$的个数（因为是排列……）。

　   所以我们就得到了康托展开公式：

　   $Rank_{A}=b_{n} imes (n-1)!+b_{n-1} imes (n-2)!+cdots +b_1 imes 0!$

　   其中$b_{i}$表示$a_i$在后$n-i$个数中排在第几个。

　   由于我们是从前往后处理，$b_i$也就相当于$a_i$在当前未出现的数中排在第几个。

代码：

inline int Cantor(){
    int rank=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int s=0;
        for(int j=i+1;j<=N;j++)
            s+=(A[j]<A[i]);
        rank+=s*jc[N-i];
    }
    return rank;
}

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逆康托展开：

和上面相反，已知某排列的排名$x$，求这个排列。

解决思路基本没区别（说是相反也行）：

假设我们现在要求$a_i$的值，首先可以得到$b_i=xdiv (n-i)!$。

那么也就是知道了$a_i$在当前未出现过的$a$中的排名。

但仅仅知道这个不能直接计算，所以我们还要记录一下前$i-1$位出现过的$a$。

然后$O(n)$枚举求出答案。

下面是一个例子：

此时$n=8,i=4$，前$3$位出现了$1,4,6$。

假设$b_i=3$，那么$a_i$在未出现的数里排名第$3$。

由于排名是从$0$开始的，$a_i$就是灰色的第$4$个数$7$。

代码：

inline void inv_Cantor(int x){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int tp=x/jc[N-i];
        for(int j=1;j<=N;j++){
            if(vis[j]) continue;
             if(tp==0){
                 vis[j]=1,A[i]=j;
                break;
            } tp--;
        }
        x=x%jc[N-i];
    }
    return;
}

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模板题目：loj10027

（这题的排名是从1开始的）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>

using namespace std;
#define MAXN 10
#define MAXM 1000005
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

int N=8,dis[MAXM],com[MAXM];
int jc[MAXN],A[MAXN],last[MAXM];
bool vis[MAXM],vvis[MAXN];

inline int Cantor(){
    int rank=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int s=0;
        for(int j=i+1;j<=N;j++)
            s+=(A[j]<A[i]);
        rank+=s*jc[N-i];
    }
    return rank+1;
}

inline void inv_Cantor(int x){
    x-=1; memset(vvis,0,sizeof(vvis));
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int tp=x/jc[N-i];
        for(int j=1;j<=N;j++){
            if(vvis[j]) continue;
             if(tp==0){
                 vvis[j]=1,A[i]=j;
                break;
            } tp--;
        }
        x=x%jc[N-i];
    }
    return;
}

inline int get1(int x){
    inv_Cantor(x);
    swap(A[1],A[8]);
    swap(A[2],A[7]);
    swap(A[3],A[6]);
    swap(A[4],A[5]);
    return Cantor();
}

inline int get2(int x){
    inv_Cantor(x);
    swap(A[1],A[4]);
    swap(A[2],A[4]);
    swap(A[3],A[4]);
    swap(A[5],A[8]);
    swap(A[5],A[6]);
    swap(A[6],A[7]);
    return Cantor();
}

inline int get3(int x){
    inv_Cantor(x);
    swap(A[3],A[7]);
    swap(A[2],A[3]);
    swap(A[6],A[7]);
    return Cantor();
}

inline void init(){
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++) 
        jc[i]=jc[i-1]*i;
    return;
}

inline void print(int u){
    if(u==1) return;
    print(com[u]);
    if(last[u]==1) printf("A");
    if(last[u]==2) printf("B");
    if(last[u]==3) printf("C");
}

void BFS(){
    int end=Cantor();
    queue<int> q; q.push(1);
    dis[1]=0,vis[1]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        if(u==end){
            printf("%d
",dis[u]);
            print(u);
            printf("
");
            break;
        }
        int t1=get1(u),t2=get2(u),t3=get3(u);
        if(!vis[t1]){
            dis[t1]=dis[u]+1,vis[t1]=1;
            last[t1]=1,com[t1]=u;
            q.push(t1);    
        }    
        if(!vis[t2]){
            dis[t2]=dis[u]+1,vis[t2]=1;
            last[t2]=2,com[t2]=u;
            q.push(t2);
        }
        if(!vis[t3]){
            dis[t3]=dis[u]+1,vis[t3]=1;
            last[t3]=3,com[t3]=u;
            q.push(t3);
        }
    }
    return;
}

int main(){
    for(int i=1;i<=N;i++) 
        A[i]=read();
    init(); BFS();
    return 0;
}