题意:
数轴上有$n$个楼房,初始时高度都是0。有$m$次操作,每次将楼房$x$的高度变为$y$。
有一个人站在$(0,0)$,每次操作之后请你求出这个人能看见多少个楼房。
一个楼房能被看见当且仅当$(x,y)$到$(0,0)$的连线不会被任何楼房阻挡。
$n,mleq 10^{5}$。
题解:线段树维护单调栈模板。
首先假设每个位置的权值是斜率,那么实际上就是求单调栈元素个数。
于是这就是一道线段树维护单调栈的模板题。
之前写过但不太清楚,现在再回顾一遍实现方法:
每个线段树节点维护两个值,$trmax$表示该区间权值最大值,$trsiz$表示该区间形成的单调栈的元素个数。
考虑单点修改$p$如何处理:
- 若$p$在右儿子中,那么不会影响左儿子,递归修改右儿子即可。(不会影响儿子指不会影响儿子在父亲单调栈中的贡献)
- 若$p$在左儿子中,那么在修改左儿子后可能会影响右儿子,此时我们需要设计一个$calc$操作来$pushup$。
$calc(l,r,val,k)$的含义是:当单调栈的初始值为$val$时,$[l,r]$这个区间形成的单调栈的元素个数。
那么$pushup$就可以写了:$trsiz(k)=trsiz(lson)+calc(mid+1,r,trmax(lson),rson)$。
考虑$calc$的值如何计算:
- 若$val>=trmax(lson)$,那么左儿子不会产生贡献,递归右儿子即可。答案为$calc(l,mid,val,lson)$。
- 若$val<trmax(lson)$,那么两个儿子都会产生贡献,答案为$calc(l,mid,val,lson)+calc(mid+1,r,val,rson)$。
但这样做的话每$pushup$一次可能要遍历整棵线段树,复杂度就是$O(n)$的,无法接受。
容易发现$calc(mid+1,r,val,rson)$这个值在$val<trmax(lson)$时实际上就是$k$的单调栈中右半部分的元素个数。
那么这个个数就等于$trsiz(k)-trsiz(lson)$。注意不是$trsiz(rson)$,这是没考虑左儿子时右儿子的贡献。
这样每次$pushup$的复杂度是$O(logn)$,总复杂度为$O(nlog^{2}n)$。
实际上所有线段树维护单调栈的题都是大同小异,区别可能只在于如何快速计算某点单调栈中右半部分的贡献。
代码:
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