【知识点】博弈论

SG函数：

对于任何一个公平博弈游戏，我们都可以把每个局面看作一个顶点u，向它的子局面v连一条边，将整个游戏抽象成一张有向图。

对于一个非负整数集合S，我们定义$mex(S)$表示最小的不属于这个集合的非负整数。

对于一张有向无环图的每个顶点u，定义$SG(u)=mex({SG(v)})$，那么$SG(u)=0leftrightarrow u点是必败态$。

如果一个游戏可以分成若干个子游戏，那么整个游戏的SG值等于每个子游戏SG值的异或和。（注意子游戏和子局面是不同的）

Bash博弈：

问题：一堆物品，n个，两个人轮流取，每次能取$[1,m]$个物品，没法操作的输，问先手是否必胜。

结论：如果物品是$m+1$的倍数则先手必败，否则先手取$n\%(m+1)$个，然后后手取x先手跟着取$m+1-x$即可。

Bash博弈升级版：

问题：一堆物品，n个，两个人轮流取，每次能取$S={a_{1},a_{2},cdots,a_{m}}$个物品，没法操作的输，问先手是否必胜。

结论：显然没结论，直接用SG函数dp即可。

Nim博弈：

问题：n堆物品，每堆$a_{i}$个，两个人轮流取，每次能从任意一个非空堆中取任意多个物品，没法操作的输，问先手是否必胜。

结论：令$SG(A)=a_{1}oplus a_{2}oplus cdots oplus a_{n}$，则$SG(A)=0$时先手必败，否则必胜。

证明：

可以直接采用SG函数的定义和性质证明，或者我们需要证明以下三个引理：

1. 对于任何一个状态A满足$SG(A)>0$，它一定能转移到至少一个状态B满足$SG(B)=0$；
2. 对于任何一个状态A满足$SG(A)=0$，它一定不能转移到任何一个状态B满足$SG(B)=0$；
3. $SG({emptyset})=0$。

引理3显然得证。 

考虑引理1，它等价于对于任意$a_{1}oplus a_{2}oplus cdots a_{i} cdots oplus a_{n}=k$，存在一个i满足将$a_{i}$减少至$a'_{i}$后，有$a_{1}oplus a_{2}oplus cdots a'_{i} cdots oplus a_{n}=0$。

构造一种方案即可。考虑取k的最高位p，找到一个在p这一位为1的$a_{i}$（显然一定存在），显然$a_{i}oplus k<a_{i}$。

那么将$a_{i}$替换成$a_{i}oplus k$，由异或的自反性可以验证其满足条件，得证。

考虑引理2，使用反证法，若存在$a_{i} ightarrow a'_{i}$满足条件，则$a_{1}oplus a_{2}oplus cdots a_{i} cdots oplus a_{n}=a_{1}oplus a_{2}oplus cdots a'_{i} cdots oplus a_{n}$。

左右消去其他项，得到$a_{i}=a'_{i}$，实际上没有操作，于是假设不成立，得证。

阶梯博弈：

问题：n个台阶，每个台阶上$a_{i}$个物品，两人轮流操作，每次将若干个物品从某个台阶下移一级，最低0级，没法操作的输，问先手是否必胜。

结论：等价于拿出所有奇数台阶做Nim博弈，将奇数级的物品移到偶数级等价于拿走这些物品。

证明：在博弈过程中如果出现了将偶数级的物品移到奇数级上的情况（显然该操作是必败方做的），另一方只需要将这些物品继续下移即可回到原Nim问题。

反Nim博弈：

问题：n堆物品，每堆$a_{i}$个，两个人轮流取，每次能从任意一个非空堆中取任意多个物品，最后一个操作的输，问先手是否必胜。

结论：令$SG(A)=a_{1}oplus a_{2}oplus cdots oplus a_{n}$，当所有堆都只有1个物品时，若$SG(A)=0$则先手必胜；当至少有一堆多于1个物品时，若$SG(A) eq 0$则先手必胜。

证明：显然每个子问题的$SG(x)=[x eq 1]$，但在所有x都等于1时需要特判。

Moore's NimK：

问题：n堆物品，每堆$a_{i}$个，两个人轮流取，每次选定至多k个非空堆，每堆取任意多个物品，没法操作的输，问先手是否必胜。

结论：令$num_{p}$为所有$a_{i}$在二进制下p这一位1的个数之和对$(k+1)$取模的结果，则$num_{p}$均等于0时先手必败，否则必胜。

证明：

这个问题是划分不了子问题的，我们需要换一种思路证明。

显然每次操作对于任意p均可将$num_{p}$增加或减少$[1,k]$范围内任意值。

• 那么对于一个必胜态，一定存在一种方案转移到必败态。
• 对于一个必败态，需要将$num_{p}$增加或减少$k+1$才能转移到必败态，显然不可能。

树上博弈：

问题：一棵有根树，两人轮流操作，每次选一个非根点删掉以它为根的子树。无法操作者输。

结论：叶子节点SG值为0，其他节点的SG值为所有儿子SG值+1的异或和。

证明：不会，见https://wenku.baidu.com/view/25540742a8956bec0975e3a8.html