【知识点】点分治&动态点分治

点分治：

优雅地暴力解决一类不带修改的树上路径问题。

每次找原树的重心，以重心为根暴力枚举当前子树内的所有点算答案，然后继续递归子树。

这个东西最多会递归$log{n}$层，所以复杂度是$O(nlog{n})$的。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 100005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long

using namespace std;
int N,M,K,hd[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],cst[maxn<<1];
int rt,ans,num,siz[maxn],d[maxn],q[maxn],tot,mnsiz,cnt; 
bool vis[maxn];

inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline void addedge(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[v],hd[v]=cnt; 
}

inline void getrt(int u,int fa){
    siz[u]=1; int mx=0;
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fa || vis[v]) continue;
        getrt(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        mx=max(mx,siz[v]);
    }
    mx=max(mx,tot-siz[u]);
    if(mx<mnsiz) rt=u,mnsiz=mx;
    return;
}
inline void getdis(int u,int fa){
    q[++num]=d[u];
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=cst[i];
        if(v==fa || vis[v]) continue;
        d[v]=d[u]+w,getdis(v,u);
    }
    return;
}
inline int calc(int u,int val){
    num=0,d[u]=val,getdis(u,0);
    sort(q+1,q+1+num);
    int l=1,r=num,res=0;
    while(l<=r){
        if(q[l]+q[r]==K) res++,l++;
        else if(q[l]+q[r]>K) r--;
        else l++;
    }
    return res;
}
inline void dfs(int u){
    ans+=calc(u,0),vis[u]=1;
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=cst[i];
        if(vis[v]) continue;
        ans-=calc(v,w);
        mnsiz=inf,tot=siz[v];
        getrt(v,u),dfs(rt);
    } 
    return;
}

int main(){
    N=read(),M=read();
    for(int i=1;i<=N-1;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        addedge(u,v,w);    
    }
    while(M--){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        K=read(),ans=0,mnsiz=inf,tot=N;
        getrt(1,0),dfs(rt);
        if(ans) printf("AYE
");
        else printf("NAY
");
    }
    return 0;
}

动态点分治（点分树）：

解决带修改的点分治问题。

按dfs的顺序把点分治的所有重心连成一棵树，每次修改在树上跳fa更新贡献。

注意这棵树破坏了原树的结构，所以需要容斥的地方可能要单独维护。

复杂度$O(nlog{n})$。（luogu这么喜欢模板题卡常啊？）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 100005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll long long

using namespace std;
int N,M,K,hd[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],cst[maxn<<1];
int rt,ans,num,siz[maxn],d[maxn],q[maxn],tot,mnsiz,cnt; 
bool vis[maxn];

inline int read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline void addedge(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,cst[cnt]=w,nxt[cnt]=hd[v],hd[v]=cnt; 
}

inline void getrt(int u,int fa){
    siz[u]=1; int mx=0;
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(v==fa || vis[v]) continue;
        getrt(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        mx=max(mx,siz[v]);
    }
    mx=max(mx,tot-siz[u]);
    if(mx<mnsiz) rt=u,mnsiz=mx;
    return;
}
inline void getdis(int u,int fa){
    q[++num]=d[u];
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=cst[i];
        if(v==fa || vis[v]) continue;
        d[v]=d[u]+w,getdis(v,u);
    }
    return;
}
inline int calc(int u,int val){
    num=0,d[u]=val,getdis(u,0);
    sort(q+1,q+1+num);
    int l=1,r=num,res=0;
    while(l<=r){
        if(q[l]+q[r]==K) res++,l++;
        else if(q[l]+q[r]>K) r--;
        else l++;
    }
    return res;
}
inline void dfs(int u){
    ans+=calc(u,0),vis[u]=1;
    for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=cst[i];
        if(vis[v]) continue;
        ans-=calc(v,w);
        mnsiz=inf,tot=siz[v];
        getrt(v,u),dfs(rt);
    } 
    return;
}

int main(){
    N=read(),M=read();
    for(int i=1;i<=N-1;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        addedge(u,v,w);    
    }
    while(M--){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        K=read(),ans=0,mnsiz=inf,tot=N;
        getrt(1,0),dfs(rt);
        if(ans) printf("AYE
");
        else printf("NAY
");
    }
    return 0;
}