查找（二）——基于二叉排序树的查找

　　　　导论：首先，沿着二分查找的思路，我们构造一种二叉树来查找，这种二叉树的左子树结点都小于根节点，右子树节点都大于根节点，这样一来，所有结点算是都排好序了，接下来就可以查找

基于二叉排序树的查找

一.二叉排序树的定义

所谓二叉排序树是一个什么样的东西，我们得弄清楚，以下是二叉排序树的定义：

　　1.若它的左子树非空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

　　2.若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值都大于根节点的值

　　3.它的左子树和右子树也是一颗二叉排序树

　　有了定义，很多东西就都会显而易见了：

　　1.二叉排序树并不是一颗完全二叉树

　　2.和二叉判定树的对比：二叉判定树是一种特殊的二叉排序树，二叉判定树多了一个限定条件：左右子树的节点数目相差最多不能超过1个（小雨或等于1）

      3.二叉排序树又名二叉查找树

　　　

　　好了，到这里给出二叉排序树的定义

　　

typedef struct  _TreeNode
{
	struct _TreeNode *leftNode;
	struct _TreeNode *rightNode;
	TypeData data;
}TreeNode,*TreeRoot;

　　

二.二叉排序树的插入

　　和堆的建立和维护类似，我们首先想解决的一个问题就是：已经有了一颗二叉排序树，怎样做到将一个值插入正确的位置，

　　给出二叉树的插入定义

　　

TreeNode* Insert_Tree(TreeRoot &root,TypeData key)
{
	if (!root)
	{
		TreeNode *node=new TreeNode;
		node->data=key;
		node->leftNode=nullptr;
		node->rightNode=nullptr;
		root=node;
		return root;
	}
	else if (root->data==key)
	{
		return root;
	}
	else if (root->data<key)
	{
		return (Insert_Tree(root->rightNode,key));
	}
	else if (root->data>key)
	{
		return(Insert_Tree(root->leftNode,key));
	}

}

　　

这里是用递归实现的二叉排序树的插入，要注意以下几点：

　　　　递归开始返回的终结点有两个：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.当根节点为null时

　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.根节点的data值和key相等，这个时候就不需要插入了

　　　　插入完毕返回插入位置的结点

三.二叉排序树的建立

　　　　所谓二叉排序树的建立，也就是通过向一个空节点不断地插入结点来建立一颗二叉排序树，通过递归地插入，可得

void Create_Tree(TreeRoot& root)
{
	TypeData key;
	while (std::cin>>key)
	{
		Insert_Tree(root,key);
	}
}

　　

四.通过二叉排序树进行查找

　　　　这里，有两种方式，递归和非递归的

　　　　首先是递归的

TreeNode *find_InTree(TreeRoot root,TypeData key)
{
	if (root)
	{
		if (root->data==key)
		{
			return root;
		}
		else if (root->data>key)
		{
			return find_InTree(root->leftNode,key);
		}
		else
		{
			return find_InTree(root->rightNode,key);
		}
	}
	return nullptr;
}

　　然后是非递归的，用while循环代替递归达到递归的作用

TreeNode *find_InTree2(TreeRoot root,TypeData key)
{
	TreeNode* p=root;
	while (p)
	{
		if (p->data==key)
		{
			return p;
			break;
		}
		else if (p->data>key)
		{
			p=p->leftNode;
		}
		else
		{
			p=p->rightNode;
		}
	}
	return nullptr;
}

　　

最后，简单地分析一下查找的时间复杂度吧！

　　　　二叉排序树的插入过程：很明显，二叉排序树过程最好情况是O(log2(n))，最差情况是O(n)，最差的情况时：二叉树变为一颗只有左子树或者只有右子树的二叉树，整个插入过程也退化成为顺序插入

　　　　二叉排序树的创建过程：很明显，假设有n个数，建立二叉排序树就要while循环n次插入过程，也就是说创建过程为O(nlog2(n))~O(n²)之间

　　　　二叉排序树的查找过程：很明显，基于二叉排序树的查找过程和二叉排序树的插入过程类似，时间复杂度也为O(log2(n))到O(n)之间

最后，程序执行过程使这样的：

排序二叉树的创建过程；

排序二叉树的查找过程；

这样看来，整个过程的时间复杂度为O(nlog2(n)到O(n²))之间，但是实际上表述的时候我们通常忽略创建过程，只考虑二叉树的查找过程，这样看来的话，整个过程的时间复杂度为O(log2(n))到O(n)之间