洛谷 P1044 栈 [卡特兰数]

题目背景
栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 poppop （从栈顶弹出一个元素）和 pushpush （将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列， 1,2,…,n1,2,…,n （图示为1到3的情况），栈 AA 的深度大于 nn 。

现在可以进行两种操作，

将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 pushpush 操作）

将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 poppop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3123 生成序列 2 3 1231 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn ，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式
输入格式：
输入文件只含一个整数 n(1≤n≤18)n(1≤n≤18)

输出格式：
输出文件只有 11 行，即可能输出序列的总数目

输入输出样例
输入样例#1： 复制
3
输出样例#1： 复制
5
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分析

该问题等价于求第n项的卡特兰数，
设第n项的卡特兰数为h(n)$h(n)$
则h(n)=c(2n,n)−c(2n,n−1)(n=0,1,2,...)$h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)$
这个是两个组合数的减法
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程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,c[100][100];
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=2*n;i++) c[i][1]=c[i][i]=1;
    for (int i=3;i<=2*n;i++)
        for (int j=1;j<=i-1;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    cout<<c[2*n][n]-c[2*n][n-1];
    return 0;
}