洛谷P3902 递增

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分析

定义f[i]表示以位置i为结尾的LIS长度。边界条件为f[0]=1，状态转移方程为

f[i]=max(f[i],f[j]+1)(j=1…i-1 a[i]>=a[j])

我们观察到，f[i]的值由前面的数字推得，所以我们只要从前往后转移，就可以保证每次使用的数字都是已经确定的值。

考虑两个数a[x]和a[y]，若x< y且f[x]==f[y]，那么在转移的过程中，选择a[x]更有潜力，可以获得最优的值，所以当f数组的值一样时，应选择最小的数。

按照f[i]==k分类，记录f[i]==k的所有i的最小值，f有两个特点：

(1)f[i]在计算过程中单调不升

(2)f数组是有序的，f[i]<=f[i+1]

根据这些性质，可以方便地求解：

(1)设当前求出的LIS长度为ans（初始值为1），当前元素为a[x]

(2)如果a[x]>f[ans]，直接加入f数组的末尾，且ans++；否则在f数组中二分查找，找到第一个比a[x]小的数字f[k]，f[k+1]=a[x]，这样做保证a[x]<=f[k+1]（根据性质1，2）

(3)最后的ans即为答案
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程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100000],f[100000],n,ans,tj;

int work(int w,int l,int r)
{
    while (l<r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if (w>=f[mid]) l=mid+1;else r=mid;
    }
    return l;
}

int main()
{
    cin>>n;
    for (int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
    f[1]=a[0]; 
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        if (f[ans]<a[i]) tj=++ans;else tj=work(a[i],1,ans+1);
        f[tj]=a[i];
    }
    cout<<n-ans;
    return 0;
}