BZOJ3091: 城市旅行

设每个点的权值为$val_i$。

对于一条路径：$1-2-3-cdots-n$

子路径数为$C^2_{n+1}$。

也就是任选两个点，包括两个点重复。

然后对于每个点$i$，一定会被$i imes(n-i+1)$条路径覆盖。

即：从左边选择端点或从右边选择端点或选$i$为端点。

所以它的贡献就是$val_i imes i imes(n-i+1)$。

于是期望值就可以这么算：$$exp=frac{sum_{i=1}^n(val_i imes i imes (n-i+1))}{C^2_{n+1}}$$

但是这玩意怎么维护呢？

那个分母直接维护$size$即可，所以丢一边去不管它。

再画图：

对于一条树上路径：$1-2-3-cdots-x-(x+1)-(x+2)-cdots-n$

假设$x$为根节点。

那么左子树为：$1-2-3-cdots-(x-1)$

其期望值为：$$exp_{lson}=sum_{i=1}^{x-1}(val_i imes i imes (x-i))$$

但是实际要求的贡献为：$$exp_{lson}'=sum_{i=1}^{x-1}(val_i imes i imes (n-i+1))$$

这个怎么办呢？

我们作个差试试：$$left.egin{array}{}exp_{lson}'-exp_{lson}&=&sum_{i=1}^{x-1}(val_i imes i imes ((n-i+1)-(x-i)))\&=&(n-x+1)sum_{i=1}^{x-1}(val_i imes i)end{array} ight.$$

额。。。好像没什么用啊。。。

等一下！

那个$(n-x+1)$很可疑啊！

没错！它就是右子树的$size+1$！（那个$1$是根节点）

设：$$lsum_n=sum_{i=1}^n(val_i imes i)$$

所以：$$exp_{lson}'=exp_{lson}+lsum_{lson} imes(size_{rson}+1)$$

同理对于右子树：

$$rsum_n=sum_{i=1}^n(val_i imes (n-i+1))$$

$$exp_{rson}'=exp_{rson}+rsum_{rson} imes(size_{lson}+1)$$

然后是根节点的贡献：$$exp_{rt}'=val_{rt} imes(size_{lson}+1) imes(size_{rson}+1)$$

整到一块去：$$left.egin{array}{}exp_{rt}&=&exp_{rt}'+exp_{lson}'+exp_{rson}'\&=&exp_{lson}+lsum_{lson} imes(size_{rson}+1)+exp_{rson}+rsum_{rson} imes(size_{lson}+1)+val_{rt} imes(size_{lson}+1) imes(size_{rson}+1)end{array} ight.$$

那，$lsum_{rt},rsum_{rt}$怎么维护呢？

也很简单：

设$$sum_{rt}=sum_{iin son_{rt}}val_i$$

则：$$lsum_{rt}=lsum_{lson}+lsum_{rson}+(val_{rt}+sum_{rson}) imes(size_{lson}+1)$$

$$rsum_{rt}=rsum_{lson}+rsum_{rson}+(sum_{lson}+val_{rt}) imes(size_{rson}+1)$$

终于把数学期望搞定了。。。

等一下！

好像还有修改？！

蒟蒻心里苦。。。

继续慢慢推式子。。。

假设在$rt$加上的值为$c$。

很显然：$$val_{rt}+=c$$

$$sum_{rt}+=c imes size_{rt}$$

那个$lsum_{rt},rsum_{rt}$推一推式子也能出来：

$$lsum_{rt}'=sum_{iin son_{rt}}((val_i+c) imes i)=sum_{iin son_{rt}}(val_i imes i)+c imes frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}=lsum_{rt}+c imes frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}$$

$$rsum_{rt}'=rsum_{rt}+c imes frac{size_{rt}(size_{rt}+1)}{2}$$

但是$exp_{rt}$就很恶心了。。。

与$lsum_{rt}$的方法相同，我们可以得到：$$exp_{rt}'=exp_{rt}+c imes sum_{i=1}^{size_{rt}}(i imes(size_{rt}-i+1))$$

后面那一堆看得很烦，于是挑出来搞事：$$S=sum_{i=1}^{n}(i imes(n-i+1))=1 imes n+2 imes (n-1)+cdots+n imes 1$$

补项成我们会的东东：$$S=(1+2+3+cdots+n) imes n-(1 imes 2+2 imes 3+cdots+(n-1) imes n)$$

前面一部分好说，继续把后面一部分挑出来搞事：

$$S=frac{n^2(n+1)}{2}-W$$

$$W=(1 imes 2+2 imes 3+cdots+(n-1) imes n)$$

拆项成我们会的东东：

$$left.egin{array}{}W&=&1 imes 2+2 imes 3+cdots+(n-1) imes n\&=&1^2+2^2+3^2+cdots+(n-1)^2+1+2+3+cdots+(n-1)end{array} ight.$$

根据小学奥数/高中必修，我们可以得到：$$W=frac{n(n-1)(2n-1)}{6}+frac{n(n-1)}{2}$$

于是：$$S=frac{n^2(n+1)}{2}-frac{n(n-1)(2n-1)}{6}-frac{n(n-1)}{2}$$

然后疯狂展开，疯狂合并同类项，最后得到一个简单到难以想象的式子：$$S=frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

整个还回去：$$exp_{rt}'=exp_{rt}+c imesfrac{size_{rt}(size_{rt}+1)(size_{rt}+2)}{6}$$

修改也就完成了。

记得翻转的时候把$lsum_{rt},rsum_{rt}$也交换一下。

然后用一个$map$大力记录边。

记得开$long long$。

呼~~~

终于写完了。。。

累死我了。。。

鬼畜的神题。。。

其实我写的还不是很好，但是我已经尽力了。。。

看不懂的，就去找代码吧。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<map>
#define MAXN 50010
using namespace std;
map<int,int> Edge[MAXN];
int n,m;
int top=0,stack[MAXN];
struct Link_Cut_Tree{
	int f,size,flag,son[2];
	long long val,sum,lsum,rsum,exp,c;//exp==expectation
}a[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
long long gcd(long long x,long long y){
	if(!y)return x;
	return gcd(y,x%y);
}
inline bool isroot(int rt){
	return a[a[rt].f].son[0]!=rt&&a[a[rt].f].son[1]!=rt;
}
inline void pushup(int rt){
	if(!rt)return;
	int lson=a[rt].son[0],rson=a[rt].son[1];
	a[rt].sum=a[lson].sum+a[rson].sum+a[rt].val;
	a[rt].size=a[lson].size+a[rson].size+1;
	a[rt].lsum=a[lson].lsum+a[rson].lsum+(a[rt].val+a[rson].sum)*(a[lson].size+1);
	a[rt].rsum=a[rson].rsum+a[lson].rsum+(a[lson].sum+a[rt].val)*(a[rson].size+1);
	a[rt].exp=a[lson].exp+a[rson].exp+a[rt].val*(a[lson].size+1)*(a[rson].size+1)+a[lson].lsum*(a[rson].size+1)+a[rson].rsum*(a[lson].size+1);
}
inline void reverse(int rt){
	if(!rt)return;
	a[rt].flag^=1;
	swap(a[rt].son[0],a[rt].son[1]);
	swap(a[rt].lsum,a[rt].rsum);
}
inline void change(int rt,long long c){
	if(!rt)return;
	long long x=1LL*a[rt].size*(a[rt].size+1)/2,y=1LL*a[rt].size*(a[rt].size+1)*(a[rt].size+2)/6;
	a[rt].val+=c;
	a[rt].c+=c;
	a[rt].sum+=c*a[rt].size;
	a[rt].lsum+=x*c;
	a[rt].rsum+=x*c;
	a[rt].exp+=c*y;
}
inline void pushdown(int rt){
	if(!rt)return;
	if(a[rt].flag){
		reverse(a[rt].son[0]);
		reverse(a[rt].son[1]);
		a[rt].flag=0;
	}
	if(a[rt].c){
		change(a[rt].son[0],a[rt].c);
		change(a[rt].son[1],a[rt].c);
		a[rt].c=0;
	}
}
inline void turn(int rt){
	int x=a[rt].f,y=a[x].f,k=a[x].son[0]==rt?1:0;
	if(!isroot(x)){
		if(a[y].son[0]==x)a[y].son[0]=rt;
		else a[y].son[1]=rt;
	}
	a[rt].f=y;a[x].f=rt;a[a[rt].son[k]].f=x;
	a[x].son[k^1]=a[rt].son[k];a[rt].son[k]=x;
	pushup(x);pushup(rt);
}
void splay(int rt){
	top=0;
	stack[++top]=rt;
	for(int i=rt;!isroot(i);i=a[i].f)stack[++top]=a[i].f;
	while(top)pushdown(stack[top--]);
	while(!isroot(rt)){
		int x=a[rt].f,y=a[x].f;
		if(!isroot(x)){
			if((a[y].son[0]==x)^(a[x].son[0]==rt))turn(rt);
			else turn(x);
		}
		turn(rt);
	}
}
void access(int rt){
	for(int i=0;rt;i=rt,rt=a[rt].f){
		splay(rt);
		a[rt].son[1]=i;
		pushup(rt);
	}
}
inline void makeroot(int rt){access(rt);splay(rt);reverse(rt);}
int findroot(int rt){
	access(rt);splay(rt);
	while(a[rt].son[0])rt=a[rt].son[0];
	return rt;
}
inline void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
inline void link(int x,int y){makeroot(x);a[x].f=y;}
inline void cut(int x,int y){
	split(x,y);
	if(a[y].son[0]==x&&a[x].f==y&&!a[x].son[1])a[x].f=a[y].son[0]=0;
	pushup(y);
}
inline void update(int x,int y,int k){
	split(x,y);
	change(y,k);
}
inline void query(int x,int y){
	long long on,down,t;
	split(x,y);
	on=a[y].exp;
	down=1LL*a[y].size*(a[y].size+1)/2;
	t=gcd(on,down);
	printf("%lld/%lld
",on/t,down/t);
}
void work(){
	int f,x,y,k;
	while(m--){
		f=read();x=read();y=read();
		switch(f){
			case 1:{
				if(Edge[x][y]){
					cut(x,y);
					Edge[x][y]=Edge[y][x]=0;
				}
				break;
			}
			case 2:{
				if(findroot(x)!=findroot(y)){
					link(x,y);
					Edge[x][y]=Edge[y][x]=1;
				}
				break;
			}
			case 3:{
				k=read();
				if(findroot(x)!=findroot(y))break;
				update(x,y,k);
				break;
			}
			case 4:{
				if(findroot(x)!=findroot(y))printf("-1
");
				else query(x,y);
				break;
			}
		}
	}
}
void init(){
	int x,y;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i].val=read();
		pushup(i);
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		x=read();y=read();
		Edge[x][y]=Edge[y][x]=1;
		link(x,y);
	}
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}

BZOJ3091: 城市旅行

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