BZOJ4537: [Hnoi2016]最小公倍数

Description

给定一张N个顶点M条边的无向图(顶点编号为1,2,…,n)，每条边上带有权值。

所有权值都可以分解成2^a*3^b的形式。

现在有q个询问，每次询问给定四个参数u、v、a和b，请你求出是否存在一条顶点u到v之间的路径，使得路径依次经过的边上的权值的最小公倍数为2^a*3^b。

注意：路径可以不是简单路径。

下面是一些可能有用的定义：

最小公倍数：K个数a₁,a₂,…,a_k的最小公倍数是能被每个a_i整除的最小正整数。

路径：路径P:P₁,P₂,…,P_k是顶点序列，满足对于任意1<=i<k，节点P_i和P_i+1之间都有边相连。

简单路径：如果路径P:P₁,P₂,…,P_k中，对于任意1<=s≠t<=k都有Ps≠Pt，那么称路径为简单路径。

Input

输入文件的第一行包含两个整数N和M，分别代表图的顶点数和边数。

接下来M行，每行包含四个整数u、v、a、b代表一条顶点u和v之间、权值为2^a*3^b的边。

接下来一行包含一个整数q，代表询问数。

接下来q行，每行包含四个整数u、v、a和b，代表一次询问。

询问内容请参见问题描述。1<=n,q<=50000、1<=m<=100000、0<=a,b<=10^9

Output

对于每次询问，如果存在满足条件的路径，则输出一行Yes，否则输出一行 No。

（注意：第一个字母大写，其余字母小写）

Sample Input

4 5
1 2 1 3
1 3 1 2
1 4 2 1
2 4 3 2
3 4 2 2
5
1 4 3 3
4 2 2 3
1 3 2 2
2 3 2 2
1 3 4 4

Sample Output

Yes
Yes
Yes
No
No

题解Here!

$AHOI2016$个人认为最毒瘤的一题。。。

首先有个式子：$lcm(2^{a_1} imes 3^{b_1},2^{a_2} imes 3^{b_2})=2^{max(a_1,a_2)} imes 3^{max(b_1,b_2)}$

于是就转化成了：

求一条$u$到$v$的路径$a_1,a_2,a_3,...,a_k$使得$max_{i=1}^ka_i==A,max_{i=1}^kb_i==B$。

我们发现只有$a<=A,b<=B$的边对答案有贡献。

那么我们可以把所有满足条件的边加进去，然后用并查集判断两点是否联通并且联通块内最大值是否合法。

而对于这种有两个限制的题目，一般的套路就是条件按照第一种权值为关键字排序，询问按照第二种关键字排序。

然后给条件分块，对于一个块只把第一关键字符合条件的询问放进去。

再把当前块前面的点按照第二关键字排序。

这样当前块前面的点都是符合当前询问点对于第一关建字条件的，而且第二关键字都是单调的。

然后对于每个询问，暴力处理一下当前块的贡献。

所以我们可以先把边按$a$排序。

对于一个块$[i,i+size]$，我们把询问的$A$在$[a[i],a[i+size])$之间的询问放进去。（$size$是块的大小）

然后把$[1,i)$的边按照$b$从小到大排序，边扫边加边，用并查集维护连通性和最大值。

对于一个询问暴力把$[i,i+size)$内满足$a<=A,b<=B$的边加进去。

注意，由于分块处理完一块后要“处理作案痕迹”，即撤销操作。

所以我们使用可回溯并查集。

不能使用压缩路径，否则难以实现撤销$uniun$操作，而只能使用并查集的启发式合并，即按秩合并。

这样子的话效率似乎是均摊$O(log_2n)$。

同时记录操作，然后撤销即可。

然后那个块的大小$size$开$sqrt{mlog_2n}$应该是最优的，不过我为了省事就直接$sqrt m$了。。。

恶心他妈给恶心开门——恶心到家了。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 50010
using namespace std;
int n,m,q,l,sum;
int fa[MAXN],size[MAXN],maxa[MAXN],maxb[MAXN];
bool ans[MAXN];
struct Question{
    int u,v,a,b,id;
}a[MAXN<<1],b[MAXN],c[MAXN];
struct Set{
    int u,v,fa,size,maxa,maxb;
}h[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
inline bool cmpa(const Question &p,const Question &q){
    if(p.a==q.a)return p.b<q.b;
    return p.a<q.a;
}
inline bool cmpb(const Question &p,const Question &q){
    if(p.b==q.b)return p.a<q.a;
    return p.b<q.b;
}
int find(int x){return fa[x]==x?x:find(fa[x]);}
void uniun(int u,int v,int a,int b){
    u=find(u);v=find(v);
    if(size[u]>size[v])swap(u,v);
    sum++;
    h[sum].u=u;h[sum].v=v;h[sum].maxa=maxa[v];h[sum].maxb=maxb[v];
    h[sum].fa=fa[u];h[sum].size=size[v];
    if(u==v){
        maxa[u]=max(maxa[u],a);
        maxb[u]=max(maxb[u],b);
        return;
    }
    fa[u]=v;
    size[v]+=size[u];
    maxa[v]=max(maxa[v],max(maxa[u],a));
    maxb[v]=max(maxb[v],max(maxb[u],b));
}
void back(){
    while(sum){
        fa[h[sum].u]=h[sum].fa;
        size[h[sum].v]=h[sum].size;
        maxa[h[sum].v]=h[sum].maxa;
        maxb[h[sum].v]=h[sum].maxb;
        sum--;
    }
}
void work(){
    for(int i=1;i<=m;i+=l){
        int top=0;
        for(int j=1;j<=q;j++)if(b[j].a>=a[i].a&&(i+l>m||b[j].a<a[i+l].a))c[++top]=b[j];
        sort(a+1,a+i,cmpb);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            fa[j]=j;
            size[j]=1;
            maxa[j]=maxb[j]=-1;
        }
        for(int j=1,k=1;j<=top;j++){
            for(;k<i&&a[k].b<=c[j].b;k++)uniun(a[k].u,a[k].v,a[k].a,a[k].b);
            sum=0;
            for(int p=i;p<i+l&&p<=m;p++)if(a[p].a<=c[j].a&&a[p].b<=c[j].b)uniun(a[p].u,a[p].v,a[p].a,a[p].b);
            int x=find(c[j].u),y=find(c[j].v);
            ans[c[j].id]=(x==y&&maxa[x]==c[j].a&&maxb[x]==c[j].b);
            back();
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        if(ans[i])printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }
}
void init(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        a[i].u=read();a[i].v=read();a[i].a=read();a[i].b=read();
        a[i].id=i;
    }
    q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++){
        b[i].u=read();b[i].v=read();b[i].a=read();b[i].b=read();
        b[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+m+1,cmpa);
    sort(b+1,b+q+1,cmpb);
    l=sqrt(m);
}
int main(){
    init();
    work();
	return 0;
}