BZOJ5293: [Bjoi2018]求和

Description

master 对树上的求和非常感兴趣。

他生成了一棵有根树，并且希望多次询问这棵树上一段路径上所有节点深度的k 次方和，而且每次的k 可能是不同的。

此处节点深度的定义是这个节点到根的路径上的边数。

他把这个问题交给了pupil，但pupil 并不会这么复杂的操作，你能帮他解决吗？

Input

第一行包含一个正整数n ，表示树的节点数。

之后n-1 行每行两个空格隔开的正整数i,j ，表示树上的一条连接点i 和点j 的边。

之后一行一个正整数m ，表示询问的数量。

之后每行三个空格隔开的正整数i,j,k ，表示询问从点i 到点j 的路径上所有节点深度的k 次方和。

由于这个结果可能非常大，输出其对998244353 取模的结果。

树的节点从1 开始标号，其中1 号节点为树的根。

Output

对于每组数据输出一行一个正整数表示取模后的结果。

1≤n,m≤300000,1≤k≤50

Sample Input

5
1 2
1 3
2 4
2 5
2
1 4 5
5 4 45

Sample Output

33
503245989
说明
样例解释
以下用d(i) 表示第i 个节点的深度。
对于样例中的树，有d(1)=0,d(2)=1,d(3)=1,d(4)=2,d(5)=2。
因此第一个询问答案为(2^5 + 1^5 + 0^5) mod 998244353 = 33
第二个询问答案为(2^45 + 1^45 + 2^45) mod 998244353 = 503245989。

题解Here!

暴力就是暴力往上跳父亲，跳到一个节点统计答案。。。

这也太暴力了吧。。。

我们发现树的形态没有变，也就是每个节点的深度没有变！

那么我们直接做一个树上前缀和，每次询问时差分一下就好了。

并且$k<=50$，非常好，$O(nk)$并不会$TLE$。。。

于是直接暴力处理就好。

这个前缀和长这个样：

for(int i=1;i<=50;i++)val[rt][i]=(val[fa[rt]][i]+mexp(deep[rt]-1,i))%MOD;

每次询问就这样：

long long ans=((val[x][k]-val[lca][k]+MOD)%MOD+(val[y][k]-val[fa[lca]][k]+MOD)%MOD)%MOD;

记得取模会有负数。。。

总复杂度的话就是$O(nklog_2k+mlog_2n)$。

话说$BJOI$怎么$T1$这么简单，送分题啊。。。

跟$HNOI/AHOI$完全不能比啊。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 300010
#define MOD 998244353LL
using namespace std;
int n,m,c=1;
int head[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],top[MAXN];
long long val[MAXN][55];
struct Tree{
    int next,to;
}a[MAXN<<1];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
long long mexp(long long a,long long b){
    long long s=1;
    while(b){
        if(b&1)s=s*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return s%MOD;
}
inline void add(int x,int y){
    a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
    a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++;
}
void dfs1(int rt){
    son[rt]=0;size[rt]=1;
    for(int i=1;i<=50;i++)val[rt][i]=(val[fa[rt]][i]+mexp(deep[rt]-1,i))%MOD;
    for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
        int will=a[i].to;
        if(!deep[will]){
            deep[will]=deep[rt]+1;
            fa[will]=rt;
            dfs1(will);
            size[rt]+=size[will];
            if(size[will]>size[son[rt]])son[rt]=will;
        }
    }
}
void dfs2(int rt,int f){
    top[rt]=f;
    if(son[rt])dfs2(son[rt],f);
    for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
        int will=a[i].to;
        if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])dfs2(will,will);
    }
}
int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
    return x;
}
void work(){
    int x,y,k;
    while(m--){
        x=read();y=read();k=read();
        int lca=LCA(x,y);
        long long ans=((val[x][k]-val[lca][k]+MOD)%MOD+(val[y][k]-val[fa[lca]][k]+MOD)%MOD)%MOD;
        printf("%lld
",ans);
    }
}
void init(){
    int x,y;
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read();y=read();
        add(x,y);
    }
    m=read();
    deep[1]=1;
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
}
int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}