LOJ#139. 树链剖分

LOJ#139. 树链剖分

题目描述

这是一道模板题。

给定一棵$n$个节点的树，初始时该树的根为 1 号节点，每个节点有一个给定的权值。下面依次进行 m 个操作，操作分为如下五种类型：

• 换根：将一个指定的节点设置为树的新根。

• 修改路径权值：给定两个节点，将这两个节点间路径上的所有节点权值（含这两个节点）增加一个给定的值。

• 修改子树权值：给定一个节点，将以该节点为根的子树内的所有节点权值增加一个给定的值。

• 询问路径：询问某条路径上节点的权值和。

• 询问子树：询问某个子树内节点的权值和。

输入格式

第一行为一个整数 n，表示节点的个数。

第二行 n 个整数表示第 i 个节点的初始权值 $a_i$​​。

第三行 $n-1$ 个整数，表示 $i+1$号节点的父节点编号$f_{i+1}(1leqslant f_{i+1}leqslant n)$。

第四行一个整数$m$，表示操作个数。

接下来 $m$行，每行第一个整数表示操作类型编号：$(1 leqslant u, v leqslant n)$

• 若类型为 $1$，则接下来一个整数 $u$，表示新根的编号。

• 若类型为 $2$，则接下来三个整数 $u,v,k$，分别表示路径两端的节点编号以及增加的权值。

• 若类型为 $3$，则接下来两个整数 $u,k$，分别表示子树根节点编号以及增加的权值。

• 若类型为 $4$，则接下来两个整数$u,v$，表示路径两端的节点编号。

• 若类型为 $5$，则接下来一个整数 $u$，表示子树根节点编号。

输出格式

对于每一个类型为 $4$ 或 $5$ 的操作，输出一行一个整数表示答案。

样例

样例输入

6
1 2 3 4 5 6
1 2 1 4 4
6
4 5 6
2 2 4 1
5 1
1 4
3 1 2
4 2 5

样例输出

15
24
19

数据范围与提示

对于 100% 的数据，$1leqslant n,m,k,a_ileqslant 10^5$​​。数据有一定梯度。

---

题解Here!

这个题如果没有换根就是一道沙茶题。。。

如果是沙茶题我还会写博客吗。。。

看到换根，想起了$LCT$，但是这个$LCT$还要维护子树信息，简直毒瘤啊。。。

所以我们选择树链剖分+线段树。

线段树是区间修改，区间加的利器！

当然你真的要用$LCT$我也不拦着。。。

没有换根很好做对吧。

考虑换根对每个操作的影响。

手玩几个小数据之后发现，如果我们以$1$为根建树，换根对$2,4$操作是没有影响的！

所以直接套上板子。

那子树怎么办？

我们不是以$1$为根建树了吗？

那就分类讨论一下$root$是否在子树内就好。

1. 如果$x==root$，那就是修改/查询整棵树，直接$update(1,n),query(1,n)$就好。

2. 如果$LCA(x,root)!=x$，即$id[x]>id[root] or id[root]>id[x]+size[x]-1$，那么修改/查询跟$root$没有关系，直接修改/查询$x$的子树$[id[x],id[x]+size[x]-1]$就好。

3. 如果$LCA(x,root)==x$，即$id[x]<=id[root] and id[root]<=id[x]+size[x]-1$，这时比较麻烦。

我们已经知道$deep[root]>deep[x]$了。

那么我们发现，换完根后，所改变的只有$x$的所有子树中，包含$root$的那颗子树！

那么我们可以找到$x$的所有子树中，包含$root$的那颗子树的根节点，也就是$x$的某个儿子，设为$y$。

然后对除了$y$的子树$[id[y],id[y]+size[y]-1]$之外的所有节点进行修改/查询。

也就是对$[1,id[y]-1],[id[y]+size[y],n]$这两个区间进行修改/查询。

那怎么找$y$呢？

我们可以从$root$开始暴力跳链，直到重链的顶端的父亲是$x$。

如果重链的顶端的深度大于了$x$的深度，那么说明$x$与重链的顶端在一条重链上，直接返回$x$的重儿子$son[x]$即可。

于是这个问题就完美解决了！

妈妈再也不用担心树剖做不了换根了！

$UPDATE$：原来的板子有错。。。

但是我很好奇它是怎么过的。。。

于是修改了一下。

但是原来的$666ms$的提交没有了555.。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define LSON rt<<1
#define RSON rt<<1|1
#define DATA(x) b[x].data
#define SIGN(x) b[x].c
#define LSIDE(x) b[x].l
#define RSIDE(x) b[x].r
#define WIDTH(x) (RSIDE(x)-LSIDE(x)+1)
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m,c=1,d=1,root;
int val[MAXN],head[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],size[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],pos[MAXN],top[MAXN];
struct Tree{
    int next,to;
}a[MAXN<<1];
struct Segment_Tree{
    long long data,c;
    int l,r;
}b[MAXN<<2];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
inline void pushup(int rt){
    DATA(rt)=DATA(LSON)+DATA(RSON);
}
inline void pushdown(int rt){
    if(!SIGN(rt)||LSIDE(rt)==RSIDE(rt))return;
    SIGN(LSON)+=SIGN(rt);
    DATA(LSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(LSON);
    SIGN(RSON)+=SIGN(rt);
    DATA(RSON)+=SIGN(rt)*WIDTH(RSON);
    SIGN(rt)=0;
}
void buildtree(int l,int r,int rt){
    LSIDE(rt)=l;RSIDE(rt)=r;SIGN(rt)=0;
    if(l==r){
        DATA(rt)=val[pos[l]];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    buildtree(l,mid,LSON);
    buildtree(mid+1,r,RSON);
    pushup(rt);
}
void update(int l,int r,long long c,int rt){
    if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r){
        SIGN(rt)+=c;
        DATA(rt)+=c*WIDTH(rt);
        return;
    }
    pushdown(rt);
    int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
    if(l<=mid)update(l,r,c,LSON);
    if(mid<r)update(l,r,c,RSON);
    pushup(rt);
}
long long query(int l,int r,int rt){
    long long ans=0;
    if(l<=LSIDE(rt)&&RSIDE(rt)<=r)return DATA(rt);
    pushdown(rt);
    int mid=LSIDE(rt)+RSIDE(rt)>>1;
    if(l<=mid)ans+=query(l,r,LSON);
    if(mid<r)ans+=query(l,r,RSON);
    return ans;
}
inline void add(int x,int y){
    a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
    a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++;
}
void dfs1(int rt){
    son[rt]=0;size[rt]=1;
    for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
        int will=a[i].to;
        if(!deep[will]){
            deep[will]=deep[rt]+1;
            fa[will]=rt;
            dfs1(will);
            size[rt]+=size[will];
            if(size[will]>size[son[rt]])son[rt]=will;
        }
    }
}
void dfs2(int rt,int f){
    id[rt]=d++;pos[id[rt]]=rt;top[rt]=f;
    if(son[rt])dfs2(son[rt],f);
    for(int i=head[rt];i;i=a[i].next){
        int will=a[i].to;
        if(will!=fa[rt]&&will!=son[rt])dfs2(will,will);
    }
}
int check(int x){
    if(x==root)return -1;
    if(id[x]<=id[root]&&id[root]<=id[x]+size[x]-1){
        int y=root;
        while(deep[y]>deep[x]){
            if(fa[top[y]]==x)return top[y];
            y=fa[top[y]];
        }
        return son[x];
    }
    return 0;
}
void update_path(int x,int y,int k){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
        update(id[top[x]],id[x],k,1);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
    update(id[x],id[y],k,1);
}
void update_subtree(int x,int k){
    int y=check(x);
    if(y==-1)update(1,n,k,1);
    else if(y==0)update(id[x],id[x]+size[x]-1,k,1);
    else{
        update(1,n,k,1);
        update(id[y],id[y]+size[y]-1,-k,1);
    }
}
void query_path(int x,int y){
    long long s=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]])swap(x,y);
        s+=query(id[top[x]],id[x],1);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
    s+=query(id[x],id[y],1);
    printf("%lld
",s);
}
void query_subtree(int x){
    long long s;
    int y=check(x);
    if(y==-1)s=query(1,n,1);
    else if(y==0)s=query(id[x],id[x]+size[x]-1,1);
    else s=query(1,n,1)-query(id[y],id[y]+size[y]-1,1);
    printf("%lld
",s);
}
void work(){
    int f,x,y,k;
    while(m--){
        f=read();x=read();
        switch(f){
            case 1:root=x;break;
            case 2:{
                y=read();k=read();
                update_path(x,y,k);
                break;
            }
            case 3:{
                k=read();
                update_subtree(x,k);
                break;
            }
            case 4:{
                y=read();
                query_path(x,y);
                break;
            }
            case 5:query_subtree(x);break;
        }
    }
}
void init(){
    int x;
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++){
        x=read();
        add(i,x);
    }
    m=read();
    root=1;
    deep[1]=1;
    dfs1(1);
    dfs2(1,1);
    buildtree(1,n,1);
}
int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}