BZOJ4820: [Sdoi2017]硬币游戏

周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。大家纷纷觉得这个游戏非常符

合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币

，其他同学记录下正反面情况。用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比

如HTT表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出n个同学，每个同学猜一个

长度为m的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利，为了保证只

有一个同学胜利，同学们猜的n个序列两两不同。很快，n个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节

。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

给你一个字符串集，要求构造一个$01$串$S$，每个位置等概率的插入$0,1$。

问字符串集中每个字符串最先出现在构造的串中的概率。

考虑到合法状态其实只有$n$个，其余的状态可以合并成一个状态——"不合法的状态"。

如果能这样列出方程，那么复杂度就是$O(n^3)$，是可以接受的。

设$S$为一种不合法的状态（即没人赢），$A=101,B=110$

引理：构造出一个长的$l$特定$01$串的概率是$$frac1{2^l}$$

到$S+101$状态一定会停止游戏，但不一定要等到$101$加完才停止。

如果SS的后缀是$1$或者$10$那么就会提前结束。

也就是说可能会有这些情况：

$$S101=(S+A)+(S'+A+01)+(S''+B+1)$$

其中$$S=S'+10=S''+1$$

根据上面的引理，可以得到方程：
$$frac18S=(1+frac14)A+frac12B$$

也就是说对与每一个$S+x_i,len(x_i)=m$，
如果$x_j$存在长度为$a$的后缀能匹配$x_i$的前缀,,那么就有
$$frac1{2^{m-a}}$$
的概率提前结束。

设$pre_{a,x_i}$表示$x_i$长度为$a$的前缀，后缀$suf_{a,x_i}$同理。

写成通式就是：
$$x_i+sum_{j=1}^nsum_{a=1}^m[pre_{a,x_i}=suf_{a,x_j}]frac1{2^{m-a}}x_j=frac1{2^m}S$$

这样我们就只有$n+1$个方程了。

最后再把其中一个方程替换为$sum x_i=1$。

至于如何快速匹配前缀和后缀就套路性地丢给了字符串哈希。。。

解方程自然是高斯消元。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 310
#define eps (1e-12)
using namespace std;
int n,m;
char ch[MAXN];
double p[MAXN],ans[MAXN],f[MAXN][MAXN];
unsigned long long base[MAXN],hash_pre[MAXN][MAXN],hash_suf[MAXN][MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void solve(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])-fabs(f[k][i])>eps)k=j;
		for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(f[i][j],f[k][j]);
		if(fabs(f[i][i])<eps)continue;
		double num=f[i][i];
		for(int j=i;j<=n+1;j++)f[i][j]/=num;
		for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j){
			num=f[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)f[j][k]-=f[i][k]*num;
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++)f[i][n+1]-=f[i][j]*ans[j];
		ans[i]=f[i][n+1]/f[i][i];
	}
}
void work(){
	solve(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.10lf
",ans[i]);
}
void init(){
	n=read();m=read();
	base[0]=p[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		base[i]=base[i-1]*3;
		p[i]=p[i-1]*0.5;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",ch+1);
		for(int j=1;j<=m;j++){
			hash_pre[i][j]=hash_pre[i][j-1]+(ch[j]=='H'?1:2)*base[j];
			hash_suf[i][j]=hash_suf[i][j-1]*3+(ch[m-j+1]=='H'?1:2)*3;
		}
	}
	f[n+1][n+2]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][n+1]=-p[m];
		f[n+1][i]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=m;k++)if(hash_pre[i][k]==hash_suf[j][k])f[i][j]+=p[m-k];
	}
}
int main(){
	init();
	work();
    return 0;
}

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