八种排序算法可以按照如图分类
交换排序
所谓交换，就是序列中任意两个元素进行比较，根据比较结果来交换各自在序列中的位置，以此达到排序的目的。
1. 冒泡排序
冒泡排序是一种简单的交换排序算法，以升序排序为例，其核心思想是：
- 从第一个元素开始，比较相邻的两个元素。如果第一个比第二个大，则进行交换。
- 轮到下一组相邻元素，执行同样的比较操作，再找下一组，直到没有相邻元素可比较为止，此时最后的元素应是最大的数。
- 除了每次排序得到的最后一个元素，对剩余元素重复以上步骤，直到没有任何一对元素需要比较为止。
用 Java 实现的冒泡排序如下
public void bubbleSortOpt(int[] arr) {
if(arr == null) {
throw new NullPoniterException();
}
if(arr.length < 2) {
return;
}
int temp = 0;
for(int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
for(int j = 0; j < arr.length - i - 1; j++) {
if(arr[j] > arr[j + 1]) {
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
}
}
2. 冒泡排序优化
现在有个问题，假如待排序数组是 2、1、3、4、5 这样的情况，按照上述代码实现，第一次循环即可得出正确结果。但循环并不会停止，而是继续执行，直到结束为止。显然，之后的循环遍历是没有必要的。
为了解决这个问题，我们可以设置一个标志位，用来表示当前次循环是否有交换，如果没有，则说明当前数组已经完全排序。
public static int bubbleSortOpt2(int[] arr) {
if (arr == null) {
throw new NullPointerException();
} else if (arr.length < 2) {
return 0;
}
int temp;
int count = 0;
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
int flag = 1;
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
flag = 0;
}
count++;
}
// 没有发生交换，排序已经完成
if (flag == 1) {
return count;
}
}
return count;
}
算法还可以再优化，比如 3、4、2、1、6、7、8 这个数组，第一次循环后，变为 3、2、1、4、6、7、8 的顺序，我们发现，1 之后的 4 、6、7、8 已经有序了，第二次循环就没必要对后面这段再遍历比较。
假设一次循环后数组第 i 个元素后所有元素已经有序，优化目标就是下次循环不再花费时间遍历已经有序的部分。关键在于如何定位 i 这个分界点，其实并不难，可以想象，由于 i 之前的元素是无序的，所以一定有交换发生，而 i 之后的元素已经有序，不会发生交换，最后发生交换的地点，就是我们要找的分界点。
public static int bubbleSortOpt3(int[] arr) {
if (arr == null) {
throw new RuntimeException();
} else if (arr.length < 2) {
return 0;
}
int temp;
int count = 0;
int len = arr.length - 1;
for (int i = 0; i < len; i++) {
// 记录最后一次交换位置
int lastChange = 0;
for (int j = 0; j < len; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
// 每交换一次更新一次
lastChange = j;
}
count++;
}
// 没有发生交换，排序已经完成
if (lastChange == 0) {
return count;
}
len = lastChange;
}
return count;
}
3. 快速排序
快速排序的思想很简单，就是先把待排序的数组拆成左右两个区间，左边都比中间的基准数小，右边都比基准数大。接着左右两边各自再做同样的操作，完成后再拆分再继续，一直到各区间只有一个数为止。
举个例子，现在我要排序 4、9、5、1、2、6 这个数组。一般取首位的 4 为基准数，第一次排序的结果是：
2、1、4、5、9、6
可能有人觉得奇怪，2 和 1 交换下位置也能满足条件，为什么 2 在首位？这其实由实际的代码实现来决定，并不影响之后的操作。以 4 为分界点，对 2、1、4 和 5、9、6 各自排序，得到：
1、2、4、5、9、6
不用管左边的 1、2、4 了，将 5、9、6 拆成 5 和 9、6，再排序，至此结果为：
1、2、4、5、6、9
为什么把快排划到交换排序的范畴呢？因为元素的移动也是靠交换位置来实现的。算法的实现需要用到递归（拆分区间之后再对每个区间作同样的操作）
用 Java 实现的快速排序如下
public void quicksort(int[] arr, int start, int end) {
if(start < end) {
// 把数组中的首位数字作为基准数
int stard = arr[start];
// 记录需要排序的下标
int low = start;
int high = end;
// 循环找到比基准数大的数和比基准数小的数
while(low < high) {
// 右边的数字比基准数大
while(low < high && arr[high] >= stard) {
high--;
}
// 使用右边的数替换左边的数
arr[low] = arr[high];
// 左边的数字比基准数小
while(low < high && arr[low] <= stard) {
low++;
}
// 使用左边的数替换右边的数
arr[high] = arr[low];
}
// 把标准值赋给下标重合的位置
arr[low] = stard;
// 处理所有小的数字
quickSort(arr, start, low);
// 处理所有大的数字
quickSort(arr, low + 1, end);
}
}
插入排序
插入排序是一种简单的排序方法，其基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中，使得被插入数的序列同样是有序的。按照此法对所有元素进行插入，直到整个序列排为有序的过程。
1. 直接插入排序
直接插入排序就是插入排序的粗暴实现。对于一个序列，选定一个下标，认为在这个下标之前的元素都是有序的。将下标所在的元素插入到其之前的序列中。接着再选取这个下标的后一个元素，继续重复操作。直到最后一个元素完成插入为止。我们一般从序列的第二个元素开始操作。
用 Java 实现的算法如下：
public void insertSort(int[] arr) {
// 遍历所有数字
for(int i = 1; i < arr.length - 1; i++) {
// 当前数字比前一个数字小
if(arr[i] < arr[i - 1]) {
int j;
// 把当前遍历的数字保存起来
int temp = arr[i];
for(j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > temp; j--) {
// 前一个数字赋给后一个数字
arr[j + 1] = arr[j];
}
// 把临时变量赋给不满足条件的后一个元素
arr[j + 1] = temp;
}
}
}
2. 希尔排序
某些情况下直接插入排序的效率极低。比如一个已经有序的升序数组，这时再插入一个比最小值还要小的数，也就意味着被插入的数要和数组所有元素比较一次。我们需要对直接插入排序进行改进。
怎么改进呢？前面提过，插入排序对已经排好序的数组操作时，效率很高。因此我们可以试着先将数组变为一个相对有序的数组，然后再做插入排序。
希尔排序能实现这个目的。希尔排序把序列按下标的一定增量（步长）分组，对每组分别使用插入排序。随着增量（步长）减少，一直到一，算法结束，整个序列变为有序。因此希尔排序又称缩小增量排序。
一般来说，初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为一。
用 Java 实现的算法如下：
public void shellSort(int[] arr) {
// gap 为步长，每次减为原来的一半。
for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
// 对每一组都执行直接插入排序
for (int i = 0 ;i < gap; i++) {
// 对本组数据执行直接插入排序
for (int j = i + gap; j < arr.length; j += gap) {
// 如果 a[j] < a[j-gap]，则寻找 a[j] 位置，并将后面数据的位置都后移
if (arr[j] < arr[j - gap]) {
int k;
int temp = arr[j];
for (k = j - gap; k >= 0 && arr[k] > temp; k -= gap) {
arr[k + gap] = arr[k];
}
arr[k + gap] = temp;
}
}
}
}
}
选择排序
选择排序是一种简单直观的排序算法，首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。
1. 简单选择排序
选择排序思想的暴力实现，每一趟从未排序的区间找到一个最小元素，并放到第一位，直到全部区间有序为止。
用 Java 实现的算法如下：
public void selectSort(int[] arr) {
// 遍历所有的数
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
int minIndex = i;
// 把当前遍历的数和后面所有的数进行比较，并记录下最小的数的下标
for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
if (arr[j] < arr[minIndex]) {
// 记录最小的数的下标
minIndex = j;
}
}
// 如果最小的数和当前遍历的下标不一致，则交换
if (i != minIndex) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[minIndex];
arr[minIndex] = temp;
}
}
}
2. 堆排序
我们知道，对于任何一个数组都可以看成一颗完全二叉树。堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
像上图的大顶堆，映射为数组，就是 [50, 45, 40, 20, 25, 35, 30, 10, 15]。可以发现第一个下标的元素就是最大值，将其与末尾元素交换，则末尾元素就是最大值。所以堆排序的思想可以归纳为以下两步：
- 根据初始数组构造堆
- 每次交换第一个和最后一个元素，然后将除最后一个元素以外的其他元素重新调整为大顶堆
重复以上两个步骤，直到没有元素可操作，就完成排序了。
我们需要把一个普通数组转换为大顶堆，调整的起始点是最后一个非叶子结点，然后从左至右，从下至上，继续调整其他非叶子结点，直到根结点为止。
/**
* 转化为大顶堆
* @param arr 待转化的数组
* @param size 待调整的区间长度
* @param index 结点下标
*/
public void maxHeap(int[] arr, int size, int index) {
// 左子结点
int leftNode = 2 * index + 1;
// 右子结点
int rightNode = 2 * index + 2;
int max = index;
// 和两个子结点分别对比，找出最大的结点
if (leftNode < size && arr[leftNode] > arr[max]) {
max = leftNode;
}
if (rightNode < size && arr[rightNode] > arr[max]) {
max = rightNode;
}
// 交换位置
if (max != index) {
int temp = arr[index];
arr[index] = arr[max];
arr[max] = temp;
// 因为交换位置后有可能使子树不满足大顶堆条件，所以要对子树进行调整
maxHeap(arr, size, max);
}
}
/**
* 堆排序
* @param arr 待排序的整型数组
*/
public static void heapSort(int[] arr) {
// 开始位置是最后一个非叶子结点，即最后一个结点的父结点
int start = (arr.length - 1) / 2;
// 调整为大顶堆
for (int i = start; i >= 0; i--) {
SortTools.maxHeap(arr, arr.length, i);
}
// 先把数组中第 0 个位置的数和堆中最后一个数交换位置，再把前面的处理为大顶堆
for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
int temp = arr[0];
arr[0] = arr[i];
arr[i] = temp;
maxHeap(arr, i, 0);
}
}
归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种有效，稳定的排序算法。该算法采用分治法的思想，是一个非常典型的应用。归并排序的思路如下：
- 将 n 个元素分成两个各含 n/2 个元素的子序列
- 借助递归，两个子序列分别继续进行第一步操作，直到不可再分为止
- 此时每一层递归都有两个子序列，再将其合并，作为一个有序的子序列返回上一层，再继续合并，全部完成之后得到的就是一个有序的序列
关键在于两个子序列应该如何合并。假设两个子序列各自都是有序的，那么合并步骤就是：
- 创建一个用于存放结果的临时数组，其长度是两个子序列合并后的长度
- 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
- 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入临时数组，并移动指针到下一位置
- 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾
- 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾
用 Java 实现的归并排序如下：
/**
* 合并数组
*/
public static void merge(int[] arr, int low, int middle, int high) {
// 用于存储归并后的临时数组
int[] temp = new int[high - low + 1];
// 记录第一个数组中需要遍历的下标
int i = low;
// 记录第二个数组中需要遍历的下标
int j = middle + 1;
// 记录在临时数组中存放的下标
int index = 0;
// 遍历两个数组，取出小的数字，放入临时数组中
while (i <= middle && j <= high) {
// 第一个数组的数据更小
if (arr[i] <= arr[j]) {
// 把更小的数据放入临时数组中
temp[index] = arr[i];
// 下标向后移动一位
i++;
} else {
temp[index] = arr[j];
j++;
}
index++;
}
// 处理剩余未比较的数据
while (i <= middle) {
temp[index] = arr[i];
i++;
index++;
}
while (j <= high) {
temp[index] = arr[j];
j++;
index++;
}
// 把临时数组中的数据重新放入原数组
for (int k = 0; k < temp.length; k++) {
arr[k + low] = temp[k];
}
}
/**
* 归并排序
*/
public static void mergeSort(int[] arr, int low, int high) {
int middle = (high + low) / 2;
if (low < high) {
// 处理左边数组
mergeSort(arr, low, middle);
// 处理右边数组
mergeSort(arr, middle + 1, high);
// 归并
merge(arr, low, middle, high);
}
}
基数排序
基数排序的原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。为此需要将所有待比较的数值统一为同样的数位长度，数位不足的数在高位补零。
使用 Java 实现的基数排序：
/**
* 基数排序
*/
public static void radixSort(int[] arr) {
// 存放数组中的最大数字
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int value : arr) {
if (value > max) {
max = value;
}
}
// 计算最大数字是几位数
int maxLength = (max + "").length();
// 用于临时存储数据
int[][] temp = new int[10][arr.length];
// 用于记录在 temp 中相应的下标存放数字的数量
int[] counts = new int[10];
// 根据最大长度的数决定比较次数
for (int i = 0, n = 1; i < maxLength; i++, n *= 10) {
// 每一个数字分别计算余数
for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
// 计算余数
int remainder = arr[j] / n % 10;
// 把当前遍历的数据放到指定的数组中
temp[remainder][counts[remainder]] = arr[j];
// 记录数量
counts[remainder]++;
}
// 记录取的元素需要放的位置
int index = 0;
// 把数字取出来
for (int k = 0; k < counts.length; k++) {
// 记录数量的数组中当前余数记录的数量不为 0
if (counts[k] != 0) {
// 循环取出元素
for (int l = 0; l < counts[k]; l++) {
arr[index] = temp[k][l];
// 记录下一个位置
index++;
}
// 把数量置空
counts[k] = 0;
}
}
}
}
八种排序算法的总结
| 排序法 | 最好情形 | 平均时间 | 最差情形 | 稳定度 | 空间复杂度 |
| 冒泡排序 | O(n) | O(n^2^) | O(n^2^) | 稳定 | O(1) |
| 快速排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(n^2^) | 不稳定 | O(nlogn) |
| 直接插入排序 | O(n) | O(n^2^) | O(n^2^) | 稳定 | O(1) |
| 希尔排序 | 不稳定 | O(1) | |||
| 直接选择排序 | O(n^2^) | O(n^2^) | O(n^2^) | 不稳定 | O(1) |
| 堆排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | 不稳定 | O(1) |
| 归并排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(nlogn) | 稳定 | O(n + logn) |