一、问题引入
对于给出如下的离散的数据点，现在想根据如下的数据点来推测x=5时的值，我们应该采用什么方法呢？
用于拟合样条函数的数据：
x f ( x)
3.0 2.5
4.5 1.0
7.0 2.5
9.0 0.5
我们知道在平面上两个点确定一条直线，三个点确定一条抛物线（假设曲线的类型是抛物线），那么现在有四个点，我们很自然的会想到，既然两个点确定一条直线，那么最简单的方法就是，两个点之间连一条线，两个点之间连一条线，最后得到的一种折线图如下：这样我们只要确定x=5时的直线，把自变量的值带进去，就显然会得到预测的函数值。但是，这种方法显然具有很明显的缺陷：曲线不够光滑，连接点处的斜率变化过大。可能会导致函数的一阶导数不连续。那么我们应该如何解决这个问题呢？
二次样条的原理
我们会想到既然直线不行，那么我们就用曲线来近似的代替和描述。最简单的曲线是二次函数，如果我们用二次函数：aX^2+bx+c来描述曲线，最后的结果可能会好一点，下图中一共有4个点，可以分成3个区间。每一个区间都需要一个二次函数来描述，一共需要9个未知数。下面的任务就是找出9个方程。
如下图所示：一共有x0,x1,x2,x3四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。
1>曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在x1,x2两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：
a1*x1^2+b1*x1+c1=f(x1)
a2*x1^2+b2*x1+c2=f(x1)
a2*x2^2+b2*x2+c2=f(x2)
a3*x2^2+b3*x2+c3=f(x2)
2>第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程
3>节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。
2*a1*x1+b1=2*a2*x1+b2
2*a2*x2+b2=2*a3*x2+b3
4>在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：
a1=0
上面是对应的9个方程，现在只要把九个方程联立求解，最后就可以实现预测x=5处节点的值。
下面是写成矩阵的形式,由于a1=0，所以未知数的个数少了一个。
下面是二次样条的python实现，最后将结果绘制在图上。
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 from pylab import mpl 4 """ 5 三次样条实现： 6 函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9 7 因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5 8 """ 9 x = [3, 4.5, 7, 9] 10 y = [2.5, 1, 2.5, 0.5] 11 12 13 """ 14 功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入 15 参数：要进行三次样条曲线计算的自变量 16 返回值：方程的参数 17 """ 18 def calculateEquationParameters(x): 19 #parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数 20 parameter = [] 21 sizeOfInterval=len(x)-1; 22 i = 1 23 #首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程 24 while i < len(x)-1: 25 data = init(sizeOfInterval*4) 26 data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i] 27 data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i] 28 data[(i-1)*4+2] = x[i] 29 data[(i-1)*4+3] = 1 30 data1 =init(sizeOfInterval*4) 31 data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i] 32 data1[i*4+1] =x[i]*x[i] 33 data1[i*4+2] =x[i] 34 data1[i*4+3] = 1 35 temp = data[2:] 36 parameter.append(temp) 37 temp = data1[2:] 38 parameter.append(temp) 39 i += 1 40 # 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程 41 data = init(sizeOfInterval * 4 - 2) 42 data[0] = x[0] 43 data[1] = 1 44 parameter.append(data) 45 data = init(sizeOfInterval * 4) 46 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1] 47 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1] 48 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1] 49 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1 50 temp = data[2:] 51 parameter.append(temp) 52 # 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。 53 i=1 54 while i < sizeOfInterval: 55 data = init(sizeOfInterval * 4) 56 data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i] 57 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i] 58 data[(i - 1) * 4 + 2] = 1 59 data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i] 60 data[i * 4 + 1] = -2 * x[i] 61 data[i * 4 + 2] = -1 62 temp = data[2:] 63 parameter.append(temp) 64 i += 1 65 # 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。 66 i = 1 67 while i < len(x) - 1: 68 data = init(sizeOfInterval * 4) 69 data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i] 70 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 71 data[i * 4] = -6 * x[i] 72 data[i * 4 + 1] = -2 73 temp = data[2:] 74 parameter.append(temp) 75 i += 1 76 return parameter 77 78 79 80 """ 81 对一个size大小的元组初始化为0 82 """ 83 def init(size): 84 j = 0; 85 data = [] 86 while j < size: 87 data.append(0) 88 j += 1 89 return data 90 91 """ 92 功能：计算样条函数的系数。 93 参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。 94 返回值：三次插值函数的系数。 95 """ 96 97 def solutionOfEquation(parametes,y): 98 sizeOfInterval = len(x) - 1; 99 result = init(sizeOfInterval*4-2) 100 i=1 101 while i<sizeOfInterval: 102 result[(i-1)*2]=y[i] 103 result[(i-1)*2+1]=y[i] 104 i+=1 105 result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0] 106 result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1] 107 a = np.array(calculateEquationParameters(x)) 108 b = np.array(result) 109 for data_x in b: 110 print(data_x) 111 return np.linalg.solve(a,b) 112 113 """ 114 功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值： 115 参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量 116 返回值：为函数的因变量 117 """ 118 def calculate(paremeters,x): 119 result=[] 120 for data_x in x: 121 result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3]) 122 return result 123 124 125 """ 126 功能：将函数绘制成图像 127 参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。 128 返回值：空 129 """ 130 def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y): 131 plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black") 132 plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red") 133 mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 134 mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False 135 plt.title("三次样条函数") 136 plt.legend(loc="upper left") 137 plt.show() 138 139 140 result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y) 141 new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1) 142 new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1) 143 new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1) 144 new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2) 145 new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1) 146 new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3) 147 new_data_x=[] 148 new_data_y=[] 149 new_data_x.extend(new_data_x1) 150 new_data_x.extend(new_data_x2) 151 new_data_x.extend(new_data_x3) 152 new_data_y.extend(new_data_y1) 153 new_data_y.extend(new_data_y2) 154 new_data_y.extend(new_data_y3) 155 Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)
二次样条函数运行之后的结果如下，从图像中，我们可以看出，二次样条在函数的连接处的曲线是光滑的。这时候，我们将x=5输入到函对应的函数端中，就可以预测相应的函数值。但是，这里还有一个问题，就是二次样条函数的前两个点是直线，而且函数的最后一个区间内看起来函数凸出很高。我们还想解决这些问题，这时候，我们想是否可以用三次样条函数来进行函数的模拟呢？
三次样条的原理：
三次样条的原理和二次样条的原理相同，我们用函数aX^3+bX^2+cX+d这个函数来进行操作，这里一共是4个点，分为3个区间，每个区间一个三次样条函数的话，一共是12个方程，只要我们找出这12个方程，这个问题就算解决了。
1>内部节点处的函数值应该相等，这里一共是4个方程。
2>函数的第一个端点和最后一个端点，应该分别在第一个方程和最后一个方程中。这里是2个方程。
3>两个函数在节点处的一阶导数应该相等。这里是两个方程。
4>两个函数在节点处的二阶导数应该相等，这里是两个方程。
5>端点处的二阶导数为零，这里是两个方程。
a1=0
b1=0
三次样条的phthon实现
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 from pylab import mpl 4 """ 5 三次样条实现： 6 函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9 7 因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5 8 """ 9 x = [3, 4.5, 7, 9] 10 y = [2.5, 1, 2.5, 0.5] 11 12 13 """ 14 功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入 15 参数：要进行三次样条曲线计算的自变量 16 返回值：方程的参数 17 """ 18 def calculateEquationParameters(x): 19 #parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数 20 parameter = [] 21 sizeOfInterval=len(x)-1; 22 i = 1 23 #首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程 24 while i < len(x)-1: 25 data = init(sizeOfInterval*4) 26 data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i] 27 data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i] 28 data[(i-1)*4+2] = x[i] 29 data[(i-1)*4+3] = 1 30 data1 =init(sizeOfInterval*4) 31 data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i] 32 data1[i*4+1] =x[i]*x[i] 33 data1[i*4+2] =x[i] 34 data1[i*4+3] = 1 35 temp = data[2:] 36 parameter.append(temp) 37 temp = data1[2:] 38 parameter.append(temp) 39 i += 1 40 # 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程 41 data = init(sizeOfInterval * 4 - 2) 42 data[0] = x[0] 43 data[1] = 1 44 parameter.append(data) 45 data = init(sizeOfInterval * 4) 46 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1] 47 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1] 48 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1] 49 data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1 50 temp = data[2:] 51 parameter.append(temp) 52 # 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。 53 i=1 54 while i < sizeOfInterval: 55 data = init(sizeOfInterval * 4) 56 data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i] 57 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i] 58 data[(i - 1) * 4 + 2] = 1 59 data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i] 60 data[i * 4 + 1] = -2 * x[i] 61 data[i * 4 + 2] = -1 62 temp = data[2:] 63 parameter.append(temp) 64 i += 1 65 # 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。 66 i = 1 67 while i < len(x) - 1: 68 data = init(sizeOfInterval * 4) 69 data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i] 70 data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 71 data[i * 4] = -6 * x[i] 72 data[i * 4 + 1] = -2 73 temp = data[2:] 74 parameter.append(temp) 75 i += 1 76 return parameter 77 78 79 80 """ 81 对一个size大小的元组初始化为0 82 """ 83 def init(size): 84 j = 0; 85 data = [] 86 while j < size: 87 data.append(0) 88 j += 1 89 return data 90 91 """ 92 功能：计算样条函数的系数。 93 参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。 94 返回值：三次插值函数的系数。 95 """ 96 97 def solutionOfEquation(parametes,y): 98 sizeOfInterval = len(x) - 1; 99 result = init(sizeOfInterval*4-2) 100 i=1 101 while i<sizeOfInterval: 102 result[(i-1)*2]=y[i] 103 result[(i-1)*2+1]=y[i] 104 i+=1 105 result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0] 106 result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1] 107 a = np.array(calculateEquationParameters(x)) 108 b = np.array(result) 109 for data_x in b: 110 print(data_x) 111 return np.linalg.solve(a,b) 112 113 """ 114 功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值： 115 参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量 116 返回值：为函数的因变量 117 """ 118 def calculate(paremeters,x): 119 result=[] 120 for data_x in x: 121 result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3]) 122 return result 123 124 125 """ 126 功能：将函数绘制成图像 127 参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。 128 返回值：空 129 """ 130 def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y): 131 plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black") 132 plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red") 133 mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 134 mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False 135 plt.title("三次样条函数") 136 plt.legend(loc="upper left") 137 plt.show() 138 139 140 result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y) 141 new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1) 142 new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1) 143 new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1) 144 new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2) 145 new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1) 146 new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3) 147 new_data_x=[] 148 new_data_y=[] 149 new_data_x.extend(new_data_x1) 150 new_data_x.extend(new_data_x2) 151 new_data_x.extend(new_data_x3) 152 new_data_y.extend(new_data_y1) 153 new_data_y.extend(new_data_y2) 154 new_data_y.extend(new_data_y3) 155 Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)
三次样条函数运行结果如下：
原文转自：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/79034201
参考博客：https://www.cnblogs.com/ondaytobewhoyouwant/p/8989497.html
https://blog.csdn.net/flyingleo1981/article/details/53008931 c语言实现
https://blog.csdn.net/guanmao4322/article/details/85054189 原理及matlab实现
https://blog.csdn.net/zb1165048017/article/details/48311603 原理及matlab实现(有手稿哟)
https://blog.csdn.net/u012856866/article/details/23952819 c++实现