Codeforces

DP的学习计划，刷 https://codeforces.com/problemset?order=BY_RATING_ASC&tags=dp

遇到了这道题 https://codeforces.com/problemset/problem/702/A

以为是最长上升子序列（Longest Increasomg Subsequence）的模板题，发现自己不会做

记录一下大概的思路：

(O(n^2)) 的算法：

• (L[i]) 选择 (A[i]) 为结尾的LIS的长度
• (P[i]) 选择 (A[i]) 为结尾的LIS的倒数第二个元素的Position（可以用来复现整个LIS）
• 临时变量 (k) ，表示 (A[i]) 计算时找到的前面最长的LIS的位置
• 对于每个 (A[i]) ，遍历它前面的每个 (A[j]) ，记录所有满足 (A[j]<A[i]) （可以把 (A[i]) 接在后面）且 (L[j]>L[k]) （更长的子序列）
• (L[i]=L[k]+1)
• (P[i]=k)

(O(nlogn)) 的算法：

• (L[i]) 长度为(i+1) 的IS的末位元素的最小值
• (length) 前 (i) 个元素构成的LIS的长度
• 升序遍历 (i)，故 (length) 非降，而且构造的过程中 (L) 数组是递增的
• 如果 (L[length-1]<A[i]) （ (A[i]) 可以接在当前最长的（长度为 (length) 的）LIS后面），则 (L[length++]=A[i])
• 否则在已确定的 (L[0]~L[length]) 中（长度为 (1) 到 (length) 闭区间的LIS的最末元素）二分找到能更新的位置并更新 $*lower\_bound(L,L+length,A[i])=A[i]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int A[100005];
int L[100005];

int lis(){
    L[0]=A[0];
    int length=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(L[length-1]<A[i]){
            L[length++]=A[i];
        }
        else{
            *lower_bound(L,L+length,A[i])=A[i];
            //1 7 2 5，已有序列1 7，lower_bound(2)得到7，可以把长度为2的LIS的末尾换成2
        }
    }
    return length;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    printf("%d
",lis());

}

复原的时候也很简单，把$L[0]~L[length-1]$全部输出就可以了

但是最后我发现这个702A并不是LIS，因为他不是子序列而是子串！

2019-01-16