模板

其实一般都只是求一个组合数：

const ll MOD=1e9+7;
const int MAXN=1e6;

ll inv[MAXN+5],fac[MAXN+5],invfac[MAXN+5];

void init_inv(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
    inv[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    }
}

void init_fac_invfac(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
    init_inv(n);
    fac[0]=1,invfac[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
    }
}

inline ll C(ll n,ll m,ll mod=MOD) {
    if(n<m)
        return 0;
    return fac[n]*invfac[n-m]%mod*invfac[m]%mod;
}

相关知识点应在《组合数学》中寻找，而不是在模板中寻找。

从旧模板的快速幂bug，逆元bug，排列数bug一路走来……

update1：通过【模板】卢卡斯定理的验证。
update2：优化了直接计算组合数的速度，（可能）优化了卢卡斯定理的退出条件。
update3：增加了错位排序，D(n)表示n个数的排列个数，使得每个数都不在应在的位置，即A[i]!=i对所有i成立。
update4：当模数比较小时，可能出现前缀积为0的情况，这种时候导致乘法逆元并不存在。会使得使用线性乘法逆元的组合数失效！但是卢卡斯定理可以正确约分掉！例如p=10007时！

//特殊定义D[0]为1
    D[0]=1;
    D[1]=0;
    for(int i=2;i<=1000000;i++){
        if(i&1){
            D[i]=((ll)i*D[i-1]-1ll)%MOD;
            if(D[i]<0)
                D[i]+=MOD;
        }
        else{
            D[i]=((ll)i*D[i-1]+1ll)%MOD;
        }
    }

---

二项式反演

可以表示成

(f_n=sumlimits_{i=0}^{n}(−1)^iC_n^ig_i⇔g_n=sumlimits_{i=0}^{n}(−1)^iC_n^if_i)
你会发现这个式子具有极强的对称性！另外一个更加常见的形式是
(f_n=sumlimits_{i=0}^{n}C_n^ig_i⇔g_n=sumlimits_{i=0}^{n}(−1)^{n-i}C_n^if_i)

---

注意事项：

1.一些函数需要修改常量以及初始化
2.不用到初始化时应回收空间，设MAXN=0即可。

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标准模板，卢卡斯定理默认装载重新求组合数。

```cpp namespace combinatorics{ //注意需要init(),必要时修改常量

const ll MOD=1e9+7;
const int MAXN=2000000;

ll inv[MAXN+5],fac[MAXN+5],invfac[MAXN+5];

//1. 快速幂 x^n %mod
inline ll qpow(ll x,ll n,ll mod=MOD) {
    ll res=1%mod;
    while(n) {
        if(n&1)
            res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

//2. 快速乘 a*b %mod 防止乘法溢出ll
inline ll qmut(ll a,ll b,ll mod=MOD) {
    ll res=0;
    while(b) {
        if(b&1)
            res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

//3. 乘法逆元 快速幂+费马小定理，要求p必须是质数 （依赖1. 快速幂）
inline ll inv_p(ll n,ll p=MOD) {
    return qpow(n,p-2,p);
}

//4. 扩展欧几里得算法：返回 g=gcd(a,b) ，以及对应的等式 ax+by=g 的解
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(!a&&!b)
        return -1;
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

//5. 扩展欧几里得算法求逆元，只要求 a,m 互质
inline ll inv_rp(ll a,ll mod=MOD) {
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    if(d==1)
        return (x%mod+mod)%mod;
    return -1;
}

//6. 线性求乘法逆元
void init_inv(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
    inv[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    }
}

//7. 线性求阶乘，阶乘乘法逆元 （依赖6. 线性求乘法逆元）
void init_fac_invfac(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
    .//这个点用来触发编译错误，提示使用init()，并修改MAXN和MOD
    init_inv(n);
    fac[0]=1,invfac[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
    }
}

//8. 利用阶乘和阶乘逆元计算排列数A_n^m %mod (依赖7. 线性求阶乘,阶乘乘法逆元)
inline ll A(ll n,ll m,ll mod=MOD) {
    return fac[n]*invfac[n-m]%mod;
}

//9. 直接计算排列数A_n^m %mod
ll A_2(ll n,ll m,ll mod=MOD){
    if(m>n) return 0;
    ll u=1;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)
        u=u*i%mod;
    return u;
}

//10. 利用阶乘和阶乘逆元计算组合数C_n^m %mod (依赖7. 线性求阶乘,阶乘乘法逆元)
inline ll C(ll n,ll m,ll mod=MOD) {
    if(n<m)
        return 0;
    return fac[n]*invfac[n-m]%mod*invfac[m]%mod;
}

//11. 直接计算组合数C_n^m %mod
inline ll C_2(ll n,ll m,ll mod=MOD){
    if(n<m) 
        return 0;
    //组合数对称优化
    m=min(m,n-m);
    ll u=1,d=1;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)
        u=u*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        d=d*i%mod;

    //为下面的inv装入正确的乘法逆元，默认使用扩展欧几里得算法重新求解
    //可以视情况换用更快的init()后的inv[d]，或者费马小定理（当mod为质数时费马小定理更简单）
    return u*inv_rp(d,mod)%mod;
}

//12. 卢卡斯定理计算组合数C_n^m%p，p是质数 (依赖10. /11. 计算组合数)
inline ll Lucas(ll n,ll m,ll p=MOD) {
    if(m>n)
        return 0;
    ll ans=1;
    //当ans为0之后就可以返回了
    while(m&&ans){
        //当p并非默认参数MOD时，必须使用直接计算组合数的C_2
        ans=ans*C_2(n%p,m%p,p)%p;
        //当p为默认参数MOD时，使用init()后的O(1)求组合数
        //ans=ans*C(n%p,m%p)%p;
        n/=p,m/=p;
    }
    return ans;
}

};

using namespace combinatorics;
//注意需要init(),必要时修改常量

</details>


---
精简模板，需要保证固定MOD为质数。
<details>
```cpp
namespace combinatorics{
    //注意需要init(),必要时修改常量

    const ll MOD=1e9+7;
    const int MAXN=2000000;

    ll inv[MAXN+5],fac[MAXN+5],invfac[MAXN+5];

    //1. 快速幂 x^n %mod
    inline ll qpow(ll x,ll n,ll mod=MOD) {
        ll res=1%mod;
        while(n) {
            if(n&1)
                res=res*x%mod;
            x=x*x%mod;
            n>>=1;
        }
        return res;
    }

    //3. 乘法逆元 快速幂+费马小定理，要求p必须是质数 （依赖1. 快速幂）
    inline ll inv_p(ll n,ll p=MOD) {
        return qpow(n,p-2,p);
    }

    //6. 线性求乘法逆元
    void init_inv(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
        inv[1]=1;
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
        }
    }

    //7. 线性求阶乘，阶乘乘法逆元 （依赖6. 线性求乘法逆元）
    void init_fac_invfac(int n=MAXN,ll mod=MOD) {
        .//这个点用来触发编译错误，提示使用init()，并修改MAXN和MOD
        init_inv(n);
        fac[0]=1,invfac[0]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
            invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
        }
    }

    //8. 利用阶乘和阶乘逆元计算排列数A_n^m %mod (依赖7. 线性求阶乘,阶乘乘法逆元)
    inline ll A(ll n,ll m,ll mod=MOD) {
        return fac[n]*invfac[n-m]%mod;
    }

    //10. 利用阶乘和阶乘逆元计算组合数C_n^m %mod (依赖7. 线性求阶乘,阶乘乘法逆元)
    inline ll C(ll n,ll m,ll mod=MOD) {
        return fac[n]*invfac[n-m]%mod*invfac[m]%mod;
    }

};


using namespace combinatorics;
//注意需要init(),必要时修改常量

---

扩展卢卡斯定理要在别的随笔中找。