超大背包问题

• 问题描述：有重量和价值分别为w_i，v_i的n个物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中，价值总和的最大值。
• 限制条件：
  1≤n≤40
  1≤w_i，v_i≤10¹⁵
  1≤W≤10¹⁵
• 题解：如果用DP的话，复杂度是O(nW)，这里W数值非常大，所以不能用DP。挑选物品的方法总共有2ⁿ种，不能直接枚举，但可以像之前一样折半枚举，每部分20个是可行的，利用拆成两半后的两部分的价值和重量，可以求出原问题的解，我们把前半部分中的选取方法对应的重量和价值总和记为w1，v1，这样在后半部分寻找总重w2≤W-w1时使v2最大的选取方法就好了。接下来只要思考从枚举得到的(w2,v2)的集合中高效寻找max{v2|w2≤W'}的方法，首先，先排除所有w2[j]≥w2[i]而v2[j]≤v2[i]的所有j，这一点可以按照w2、v2的字典序排序后简单做到，此后剩余的元素都满足w2[i]<v2[j]⇿v2[i]<v2[j]，要计算max{v2|w2<W'}的话，只要寻找满足w2[i]≤W'的最大的i就可以了，这可以用二分来完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需要O(logM)的时间，而M<2^(n/2)，所以总的时间复杂度是O(2^(n/2)n)。
• 代码：

  #include <cstdio>
  #include <cctype>
  #include <algorithm>
  #include <cmath>
  #include <cstring>
  #include <utility>
  #define number s-'0'
  
  using namespace std;
  
  const int MAX_N=50;
  const long long INF=0x3fffffffffffffff;
  int n;
  long long w[MAX_N], v[MAX_N];
  long long W;
  pair<long long, long long> ps[1<<(MAX_N/2)];
  
  void read(int &x){
      char s;
      x=0;
      bool flag=0;
      while(!isdigit(s=getchar()))
          (s=='-')&&(flag=true);
      for(x=number;isdigit(s=getchar());x=x*10+number);
      (flag)&&(x=-x);
  }
  
  void write(int x)
  {
      if(x<0)
      {
          putchar('-');
          x=-x;
      }
      if(x>9)
          write(x/10);
      putchar(x%10+'0');
  }
  
  long long max(long long x, long long y)
  {
      if (x>y) return x;
      return y; 
  }
  
  int main()
  {
      read(n);scanf("%I64d",&W);
      for (int i=0; i<n; i++)
      {
          scanf("%I64d %I64d",&w[i], &v[i]);
      }
      int n2=n/2;
      for (int i=0; i<1<<n2; i++)
      {
          long long sw=0, sv=0;
          for (int j=0; j<n2; j++)
          {
              if (i>>j&1)
              {
                  sw+=w[j];
                  sv+=v[j]; 
              }
          }
          ps[i]=make_pair(sw, sv);
      }
      sort(ps, ps+(1<<n2));
      int m=1;
      for (int i=1; i<1<<n2; i++)
      {
          if (ps[m-1].second<ps[i].second)
          {
              ps[m++]=ps[i];
          }
      }
      long long res=0;
      for (int i=0; i<1<<(n-n2); i++)
      {
          long long sw=0, sv=0;
          for (int j=0; j<n-n2; j++)
          {
              if (i>>j&1)
              {
                  sw+=w[n2+j];
                  sv+=v[n2+j];
              }
          }
          if (sw<=W)
          {
              long long tv=(lower_bound(ps, ps+m, make_pair(W-sw,INF))-1)->second;
              res=max(res,sv+tv);
          }
      }
      printf("%d
  ", res);
  }