其实(min-max)容斥并不难
(kth-max(S))指集合S的第(k)大
考虑设系数为(f(|T|))
[kth-max(S)=sum_{T subset S,T
eq emptyset} f(|T|)min(T)
]
从小到大排第(x)个的贡献
[[n-k+1=x]=sum_{i=0}^{n-x} binom{n-x}{i} f(i+1)
]
[[n-x=k-1]=sum_{i=0}^{n-x} binom{n-x}{i} f(i+1)
]
[[t=k-1]=sum_{i=0}^t binom{t}{i} f(i+1)
]
二项式反演
[f(t+1)=sum_{i=0}^t binom{t}{i} (-1)^{t-i} [i=k-1]
]
[f(t+1)= binom{t}{k-1} (-1)^{t-k+1}
]
[f(t)= binom{t-1}{k-1} (-1)^{t-k}
]
考虑(kth-min)
[kth-min(S)=sum_{T subset S,T
eq emptyset} g(|T|)max(T)
]
[[n-k+1=x]=sum_{i=0}^{n-x} binom{n-x}{i} g(i+1)
]
所以$$g=f$$
洛谷的一道好题
重返现世