[HNOI2008]玩具装箱TOY

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：

5 4
3
4
2
1
4

输出样例#1：

1

题解：
和上题一样的套路哈.直接写出原始dp方程，f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-L-1)^2
但是天真的小朋友，千万把后面一块全拆.分i，j两部分即可
变为f[i]=f[j]+((sum[i]+i-L-1)+(-j-sum[j]))^2 然后开平方
最后变为斜率优化的标准形式：
(f[j]-f[k]+(j+sum[j])^2-(k+sum[k])^2)/(2*((-k-sum[k])-(-j-sum[j])))<=(sum[i]+i-L-1)
那么(sum[i]+i-L+1)就是当前直线斜率，(f[j]-f[k]+(j+sum[j])^2-(k+sum[k])^2)就是y，(2*((-k-sum[k])-(-j-sum[j])))就是x.
直接维护凸壳即可 代码好写

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50005;
ll sum[N];
int gi(){
    int str=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9' || ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')str=(str<<1)+(str<<3)+ch-48,ch=getchar();
    return str;
}
int n,m,q[N];ll f[N];
ll fy(int i,int j){
    return f[i]+(i+sum[i])*(i+sum[i])-f[j]-(j+sum[j])*(j+sum[j]);
}
ll fx(int i,int j){
    return ((-(-i-sum[i])+(-j-sum[j]))<<1);
}
void work(){
    n=gi();m=gi();
    for(int i=1,x;i<=n;i++)x=gi(),sum[i]=sum[i-1]+x;
    int l=1,r=1,j,k;q[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(l<=r-1){
            j=q[l];k=q[l+1];
            if(fy(j,k)>=fx(j,k)*(sum[i]+i-m-1))l++;
            else break;
        }
        f[i]=f[q[l]]+(sum[i]-sum[q[l]]+i-q[l]-1-m)*(sum[i]-sum[q[l]]+i-q[l]-1-m);
        while(l<=r-1){
            j=q[r];k=q[r-1];
            if(fy(i,j)*fx(j,k)<=fx(i,j)*fy(j,k))r--;
            else break;
        }
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
}
int main()
{
    work();
    return 0;
}