bzoj 5252: [2018多省省队联测]林克卡特树

Description

小L 最近沉迷于塞尔达传说：荒野之息（The Legend of Zelda: Breath of The Wild）无法自拔，他尤其喜欢游戏中的迷你挑战。
游戏中有一个叫做“LCT” 的挑战，它的规则是这样子的：现在有一个N 个点的 树（Tree），每条边有一个整数边权vi ，若vi >= 0，表示走这条边会获得vi 的收益；若vi < 0 ，则表示走这条边需要支付- vi 的过路费。小L 需要控制主角Link 切掉（Cut）树上的 恰好K 条边，然后再连接 K 条边权为 0 的边，得到一棵新的树。接着，他会选择树上的两个点p; q ，并沿着树上连接这两点的简单路径从p 走到q ，并为经过的每条边支付过路费/ 获取相应收益。
海拉鲁大陆之神TemporaryDO 想考验一下Link。他告诉Link，如果Link 能切掉 合适的边、选择合适的路径从而使 总收益 - 总过路费最大化的话，就把传说中的大师之剑送给他。
小 L 想得到大师之剑，于是他找到了你来帮忙，请你告诉他，Link 能得到的 总收益 - 总过路费最大是多少。

Solution

凸优化
发现斜率是递增的,虽然后面可能会变成负的,二分这个斜率 (mid)
然后相当于选择若干条点不相交的路径,每一次选择的代价为 (mid),求 ((K,f(K))) 的值
我们二分到 ((K,f(K))) 所在直线的斜率就可以推出这个点的值

求函数的最大值和 (60) 分 (DP) 一样,设 (f[x][0/1/2]) 表示这个点的度数为 (0/1/2) 时的最大值
转移时顺便维护选择的路径数量,具体转移见代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>void gi(T &x){
	int f;char c;
	for(f=1,c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=getchar())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
typedef long long ll;
const int N=3e5+10;const ll inf=1e15;
int n,K,head[N],nxt[N*2],to[N*2],num=0,dis[N*2];ll reb,mid;
inline void link(int x,int y,int z){
	nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;dis[num]=z;
	nxt[++num]=head[y];to[num]=x;head[y]=num;dis[num]=z;
}
struct data{int x;ll y;}f[N][3];
inline bool operator <(const data &p,const data &q){
	return p.y!=q.y?p.y<q.y:p.x>q.x;
}
inline data operator +(const data &p,const data &q){
	return (data){p.x+q.x,p.y+q.y};
}
inline data operator +(const data &p,const ll q){return (data){p.x,p.y+q};}
inline void upd(data &a,data b,int c){b.x+=c;a=max(a,b);}
inline void dfs(int x,int last){
	f[x][0]=(data){0,0};f[x][1]=(data){1,-mid};f[x][2]=(data){0,-inf};
	for(int i=head[x],u;i;i=nxt[i]){
		if((u=to[i])==last)continue;
		dfs(u,x);
		data w=max(f[u][0],max(f[u][1],f[u][2]));
		upd(f[x][2],f[x][2]+w,0);
		upd(f[x][2],f[x][1]+f[u][1]+mid+dis[i],-1);
		
		upd(f[x][1],f[x][1]+w,0);
		upd(f[x][1],f[x][0]+f[u][1]+dis[i],0);
		
		upd(f[x][0],f[x][0]+w,0);
	}
}
inline int solve(){
	dfs(1,1);
	data ans=(data){0,-inf};
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,max(f[i][0],max(f[i][1],f[i][2])));
	if(ans.x<=K)reb=ans.y;
	return ans.x;
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int x,y,z;
  ll l=0,r=0,ret=0;
  cin>>n>>K;K++;
  for(int i=1;i<n;i++){
	  gi(x);gi(y);gi(z);
	  link(x,y,z);l-=abs(z);r+=abs(z);
  }
  while(l<=r){
	  mid=(l+r)>>1;
	  if(solve()<=K)ret=mid,r=mid-1;
	  else l=mid+1;
  }
  reb+=ret*K;
  cout<<reb<<endl;
  return 0;
}