6305.RMQ Similar Sequence
这个题的意思就是对于A，B两个序列，任意的l，r，如果RMQ(A，l，r)=RMQ(B，l，r)，B序列里的数为[0,1]的实数，B的重量为B的所有元素的和，否则为0。问你B的期望重量是多少。
dls讲题说是笛卡尔树，笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，具体的看这篇博客吧：【pushing my way】笛卡尔树
这个题就是笛卡尔树同构的问题，假设A的笛卡尔树的子树大小为sz[u]，那么序列B与A同构的概率为
，因为B中的数满足均匀分布(因为B中的元素为[0,1]中的任意实数)，所以每个位置的期望值为(0+1)/2，那么B的重量总和为n/2，所以B的重量的期望值为
。
贴一下官方题解:
RMQ-Similar实际上就是A和B的笛卡尔树一样，这样我们就有了一个二叉树，然后可以在树上分析了。 考虑到B中有元素相同的概率是0，于是可以假设B里面元素互不相同，也就是说可以假定是一个排列。 显然，符合笛卡尔树的排列就是这个树的拓扑序列个数，就是
。然后显然每个排列期望的和是
，于是答案就是
。
代码(参考别人的模板)：
1 //1008-6305-RMQ的概念、笛卡尔树模板题，同构求bi的拓扑序个数 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 #include<cstdlib> 8 #include<cassert> 9 #include<queue> 10 #include<vector> 11 #include<stack> 12 using namespace std; 13 typedef long long ll; 14 const int maxn=1e6+10; 15 const int inf=0x3f3f3f3f; 16 const int mod=1e9+7; 17 18 stack<int>st; 19 ll inv[maxn]; 20 int n; 21 22 struct node{ 23 int val,sz; 24 int l,r,par; 25 }t[maxn]; 26 27 28 void init() 29 { 30 for(int i=0;i<=n;i++) 31 t[i].l=0,t[i].r=0,t[i].par=0,t[i].sz=0;//初始化 32 t[0].val=inf; 33 while(!st.empty()) 34 st.pop(); 35 st.push(0); 36 } 37 38 void build() 39 { 40 for(int i=1;i<=n;i++){ 41 while(!st.empty()&&t[st.top()].val<t[i].val)//从栈顶往栈底遍历， 42 st.pop(); 43 int par=st.top(); 44 t[i].par=par;//i.par为st.pop() 45 t[i].l=t[par].r; 46 t[t[par].r].par=i; 47 t[par].r=i;//右子树 48 st.push(i); 49 } 50 } 51 52 void dfs(int u) 53 { 54 if(u==0) return ; 55 t[u].sz=1; 56 dfs(t[u].l); 57 dfs(t[u].r); 58 t[u].sz+=t[t[u].l].sz+t[t[u].r].sz; 59 } 60 61 void Inv(){//扩展gcd求逆元 62 inv[1]=1; 63 for(int i=2;i<maxn;i++) 64 inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; 65 } 66 67 int main() 68 { 69 int T; 70 Inv(); 71 scanf("%d",&T); 72 while(T--){ 73 scanf("%d",&n); 74 init(); 75 for(int i=1;i<=n;i++) 76 scanf("%d",&t[i].val); 77 build(); 78 dfs(t[0].r); 79 80 ll ans=n*inv[2]%mod; 81 for(int i=1;i<=n;i++) 82 ans=ans*inv[t[i].sz]%mod; 83 printf("%lld ",ans); 84 } 85 }
代码(标程)：
1 #include <cstdio> 2 #include <functional> 3 #include <algorithm> 4 #include <vector> 5 #include <queue> 6 7 using int64 = long long; 8 9 const int mod = 1e9 + 7; 10 11 int main() { 12 int T; 13 scanf("%d", &T); 14 for (int cas = 1; cas <= T; ++cas) { 15 int n; 16 scanf("%d", &n); 17 std::vector<int> a(n); 18 for (int i = 0; i < n; ++i) { 19 scanf("%d", &a[i]); 20 } 21 22 std::vector<int> left(n, -1), right(n, -1), stk(n), parent(n, -1); 23 for (int i = 0, top = 0; i < n; ++i) { 24 int last = -1; 25 while (top && a[i] > a[stk[top - 1]]) { 26 last = stk[--top]; 27 } 28 if (top) { 29 right[stk[top - 1]] = i; 30 parent[i] = stk[top - 1]; 31 } 32 left[i] = last; 33 if (last != -1) parent[last] = i; 34 stk[top++] = i; 35 } 36 37 std::vector<int> inv(n + 2, 1); 38 for (int i = 2; i < n + 2; ++i) { 39 inv[i] = int64(mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; 40 } 41 42 using pii = std::pair<int, int>; 43 { 44 std::vector<pii> a(n), b(n); 45 std::queue<int> queue; 46 std::vector<int> cnt(n); 47 for (int i = 0; i < n; ++i) { 48 a[i] = b[i] = {inv[2], 0}; 49 if (left[i] == -1 && right[i] == -1) { 50 queue.push(i); 51 } 52 cnt[i] = (left[i] != -1) + (right[i] != -1); 53 } 54 while (!queue.empty()) { 55 int u = queue.front(); queue.pop(); 56 pii res = {(int64)a[u].first * inv[a[u].second] % mod * b[u].first % mod * inv[b[u].second] * 2 % mod, a[u].second + b[u].second + 1}; 57 int p = parent[u]; 58 if (p == -1) { 59 printf("%d ", res.first); 60 break; 61 } 62 if (cnt[p] == 2) a[p] = res; 63 else if (cnt[p] == 1) b[p] = res; 64 --cnt[p]; 65 if (cnt[p] == 0) queue.push(p); 66 } 67 } 68 } 69 return 0; 70 }
讲道理，还是有点不太清楚，还不熟练，多学习一下。
溜了。。。