[HEOI2014]逻辑翻译(分治)

题目描述

在人类的神经系统中，每个信号都可以用?1或+1来表示。这些信号组合起来最后形成 了喜怒哀乐，酸甜苦辣，红黄绿蓝等各种各样的复杂信息。纳米探测科技的突破让生物学家 可以测量大脑中特定区域的完整逻辑功能。然而超大数据的处理一直是令 H 教授头疼的问 题。

 假设一个逻辑单元接受N个信号输入，并产生一个代表某种意义的实数值r。那么总共 可能的情况有2^N种。

通过长时间的累积测量， H 教授可以准确地获得输入信号与r的关系表：

 f:{-1,1}N →R  然而进一步研究发现，神经元的运算方式可以被建模为人们熟知的多项式。由于一个输 入

信号值的平方一定为1，所以我们可以用不含幂的2^N项的多项式来唯一表示任何一个逻辑f。 

例如

 x1 = +1; x2 = +1   x1 = +1; x2 = -1  x1 = -1; x2 = +1 x1 = -1; x2 = -1

        0                   1                2                3  

可以写成 f(x1,x2) = 1.5 - 0.5x2 - x1 研究一个逻辑单元的多项式形式对了解大脑工作十分有意义，于是

小 M 决定帮 H 教授 把测量出的逻辑关系表全部转换成多项式的形式。这么简单的工作一定难不倒编程能手

小M 的吧？ 

题解

这题意思是给多项式的点值表达，让你把系数求出来。

关键是它的多项式很鬼畜，有x1,x2,还有x1,x2让人感觉很烦。

对于这么一个多项式a1+a2x1+a3x2+a4x1x2,我们把x1提出来，式子就变成了x1(a2+a4x2)+a1+a3x2。

把x1去掉，加号两边的东西是不是长得很像？

我们令两个点值表达只有x1不同，x1=-1时值为a，x1=1时值为b，那么左边那一坨就是(b-a)/2,右边那一坨就是(a+b)/2。

于是我们成功的把问题规模减小了一半。

其实这个思路和FFT几乎一模一样。

然后这道题的输出很诡异，要求字典序输出，可以用dfs实现。

还有我的操作有些鬼畜，导致最后分治出的序列和答案序列不一样，所以我又nlogn模拟了一遍把答案顺序排好。。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<21)+10;
double x;
int n,top,p[N];
char s[N];
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}    
ll gcd(ll x,ll y){if(x<0)x=-x;if(y<0)y=-y;return y?gcd(y,x%y):x;}
struct fs{
    ll x,y;
    fs operator +(const fs &b)const{
        ll xx=x*b.y+y*b.x,yy=y*b.y*2;
        ll g=gcd(yy,xx);
        xx/=g;yy/=g;
        return fs{xx,yy};
    }
    fs operator -(const fs &b)const{
        ll xx=x*b.y-y*b.x,yy=y*b.y*2;
        ll g=gcd(yy,xx);
        xx/=g;yy/=g;
        return fs{xx,yy};
    } 
}dp[N];
void dfs(int num,int x){
    if(num>n)return;
    p[++top]=x|(1<<num-1);
    dfs(num+1,x|(1<<num-1));dfs(num+1,x);
}
int main(){
    n=rd();
    for(int i=0;i<(1<<n);++i){
      int o=0;scanf("%s%lf",s+1,&x);
      for(int j=1;j<=n;++j){
          o<<=1;o|=(s[j]=='+'?1:0);
      }
      if(x>0)dp[o].x=(int)(x*100+0.1);//因为要向0取整，所以要判断正负 
      else dp[o].x=(int)(x*100-0.1);
      dp[o].y=100;
      ll g=gcd(dp[o].x,dp[o].y);
      dp[o].x/=g;dp[o].y/=g;
    }
    for(int i=(1<<n-1);i>=1;i>>=1)
      for(int j=0;j<(1<<n);j+=(i<<1))
        for(int k=0;k<i;++k){
            fs x=dp[k+j],y=dp[k+i+j];
            dp[k+j]=y-x;dp[k+i+j]=x+y;       
        }
    for(int i=0;i<(1<<n);++i){
        int x=i,l=0,r=(1<<n)-1;
        while(l!=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(x&1)r=mid;else l=mid+1;x>>=1;
        }
        if(l<i)swap(dp[l],dp[i]);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=0;i<(1<<n);++i){
        int x=p[i];
        if(!dp[x].x)continue;
        if(dp[x].y<0)dp[x].y=-dp[x].y,dp[x].x=-dp[x].x;
        if(dp[x].y!=1)
        printf("%lld/%lld ",dp[x].x,dp[x].y);
        else printf("%lld ",dp[x].x);
        for(int j=1;j<=n;++j)if(x&(1<<j-1))printf("x%d",j);
        printf("
");
    }
    return 0;
}