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  • AT2371 Placing Squares

    题解

    考虑(dp)

    [dp[i]=sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(i-j)^2 ]

    我们可以设((i-j))(x),那么随着(i)向右移动一格,每个(x)都是会增长(1)的。

    [dp[i]=sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(x+1)^2 ]

    [dp[i]=sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(x^2+2x+1) ]

    为了转移,我们需要将这三段分开维护。

    注意,当没有障碍点的时候,转移需要再加上一个(dp[i])

    转移的时候构造矩阵就可以了。

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int mod=1e9+7;
    int n,m;
    inline ll rd(){
        ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
        while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
        while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
        return f?-x:x;
    }
    inline void MOD(ll &x){x=x>=mod?x-mod:x;}
    struct matrix{
        ll a[3][3];
        matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
        inline matrix operator *(const matrix &b)const{
            matrix c;
            for(int i=0;i<3;++i)
                for(int j=0;j<3;++j){
                    c.a[i][j]=0;
                    for(int k=0;k<3;++k)
                        MOD(c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j]%mod);
                }
            return c;
        }
        inline void print(){
            for(int i=0;i<3;++i){
                for(int j=0;j<3;++j)cout<<a[i][j]<<" ";puts("");
            }
            puts("");
        }
    }a1,a2,ans;
    inline matrix solve(matrix a,matrix b,int c){
        while(c){
            if(c&1)a=a*b;
            b=b*b;
            c>>=1;
        }
        return a;
    }
    int main(){
        n=rd();m=rd();
        a1.a[0][0]=1;a1.a[1][0]=1;a1.a[1][1]=1;a1.a[2][0]=1;a1.a[2][1]=2;a1.a[2][2]=1;
        a2=a1;a2.a[0][2]++;a2.a[1][2]++;a2.a[2][2]++;
        ans.a[0][2]=1;
        int x=0,pre=1;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            x=rd();
            ans=solve(ans,a2,x-pre);
            ans=ans*a1;
            pre=x+1;
        }
        ans=solve(ans,a2,n-pre);
        cout<<(ans.a[0][0]+ans.a[0][1]+ans.a[0][2])%mod;
        return 0;
    }
    
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