BJWC2018上学路线

题目描述

小B 所在的城市的道路构成了一个方形网格，它的西南角为(0,0)，东北角为(N,M)。

小B 家住在西南角，学校在东北角。现在有T 个路口进行施工，小B 不能通过这些路口。小B 喜欢走最短的路径到达目的地，因此他每天上学时都只会向东或北行走；而小B又喜欢走不同的路径，因此他问你按照他走最短路径的规则，他可以选择的不同的上学路线有多少条。由于答案可能很大，所以小B 只需要让你求出路径数mod P 的值。

输入输出格式

输入格式：
第一行为四个整数N、M、T、P。

接下来的T 行，每行两个整数，表示施工的路口的坐标。

输出格式：
一行一个整数，表示路径数mod P 的值。

此题涉及到的数论知识有很多：扩展欧几里得算法、卢卡斯定理（组合数）、中国剩余定理（合并）。
当没有施工点时，答案即C（n+m，m）。
当有施工点时，考虑到j点能影响到i点当且仅当x[i]>=x[j]且y[i]>=y[j]时。影响的路径条数为f[i]=f[i]-f[j]*C(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)，它的解释为：到j点的路径条数乘上j点到i点的路径条数。我们把所有符合条件的j都减去（思考一下这样为什么不会重复减去）。计算之前先sort一遍就可以了，对于取模，卢卡斯定理计算就好了。
但模数不是质数的情况，中国剩余定理合并即可。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long mod,n,m,t,p,jie[1000009],ni[1000009],f[209],x,y,a1,a2,a3,a4,ans;
struct fe
{
    long long x,y;
}a[209];
bool cmp(fe a,fe b)
{
    return(a.x==b.x)?(a.y<b.y):(a.x<b.x);
}
long long lucas(long long n,long long m)
{
    if(m>n)return 0;
    if(!m)return 1;
    if(n<mod)return jie[n]*ni[m]*ni[n-m]%mod;
    return lucas(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
void exgcd(long long a,long long b)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
}
long long work1()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    ni[0]=ni[1]=1;
    jie[1]=1;
    for(int i=2;i<=mod;++i)
    {
     jie[i]=(jie[i-1]*i)%mod;
     ni[i]=(mod-mod/i)*ni[mod%i]%mod;
    }
    for(int i=2;i<=mod;++i)
      ni[i]=ni[i]*ni[i-1]%mod;
    for(int i=1;i<=t;++i)
      {
       f[i]=lucas(a[i].x+a[i].y,a[i].x)%mod;
       for(int j=1;j<i;++j)
         if(a[i].x>=a[j].x&&a[i].y>=a[j].y)f[i]=(f[i]-f[j]*lucas(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)%mod+mod)%mod;
      }
    return f[t];
}
long long bing(long long a,long long b,long long c)
{
    x=0;y=0;
    exgcd(a,c);
    x=(x+c)%c;
    return x*a%p*b%p;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>t>>p;
    for(int i=1;i<=t;++i)scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
    a[++t].x=n,a[t].y=m;
    sort(a+1,a+t+1,cmp);
    if(p==1000003)
    {
        mod=p;
        cout<<work1();
    }
    else
    {
        mod=3;a1=work1();
        mod=5;a2=work1();
        mod=6793;a3=work1();
        mod=10007;a4=work1();
        ans=(ans+bing(p/3,a1,3))%p;//cout<<ans;
        ans=(ans+bing(p/5,a2,5))%p;//<<ans;
        ans=(ans+bing(p/6793,a3,6793))%p;//cout<<ans;
        ans=(ans+bing(p/10007,a4,10007))%p;//cout<<ans;
        cout<<ans;
    }
    return 0;
}