合法括号序列（dp+组合数学）

键盘上有左括号(，右括号)，和退格键-，共三个键。

牛牛希望按键n次，使得输入的字符串恰好一个合法的括号序列。

每按一次左括号(，字符串末尾追加一个左括号(

每按一次右括号)，字符串末尾追加一个右括号)

每按一次退格键-，会删掉字符串的最后一个字符，

特别的，如果字符串为空，牛牛也可以按退格，但是什么都不会发生。

输出方案数对p取模，注意p可能不是质数。

注：只要按键方法不同，就是不同的方案，即使得到的序列一样。

Solution

这题和其他关于括号序列的题不太一样，因为有了删除操作。

由于我太ZZ，然后搞了个*b方程。

设dp[i][j]表示按了i次，造出了一个长度为j的序列的方案数。

转移是dp[i][j]=dp[i-1][max(0,j-1)]+dp[i-1][j+1]

这里取max是指当序列为空时我也可以退格。

然后我们就有了一个长度为j的序列，我们要把左括号和右括号往里放，使得它是一个合法的括号序列。

其实这个方案数就是卡特兰数。

于是我们枚举长度，答案加上dp[n][i]*catalan(i/2)。

然后样例爆炸。

发现（+del和）+del最后制造出的序列是一样的，但是是两种不同的方案，但按照上面的方法dp只会计算一次。

所以删除时要考虑删什么字符。

正确转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][max(0,j-1)]+dp[i-1][j+1]*2.

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1002 
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll f[N][N],dp[N][N],p,ans;
int main() {
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=0;j<=i;++j)
       dp[i][j]=(dp[i-1][max(j-1,0)]+2*dp[i-1][j+1])%p;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
       f[i][0]=f[i-1][1];
       for(int j=1;j<=i;++j)
         f[i][j]=(f[i-1][j+1]+f[i-1][j-1])%p;
    }
    for(int i=0;i<=n;i+=2)(ans+=(f[i][0]*dp[n][i])%p)%=p;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}