数论

今天，$zutter$终于下定决心去学了数论，然后

从基础说起

• gcd

这个..感性理解一下就好了啊

gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return(b,a%b);
}

 证明：

• exgcd

扩展欧几里得算法，用于在已知(a,b)时求解(x,y) 使 a*x+b*y=c (c | gcd(a,b))

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int ret, tmp;
	if(! b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ret=ex_gcd(b, a % b, x, y);
	tmp= ; x=y; y=tmp-a/b*y;
	return ret; 
}

 证明：

 

又因为  

所以任意都可为解

 

•  逆元

当时，称x为a在%p意义下的逆元，记作

解法：

• • 扩展欧几里得

　　   

• • 费马小定理且

• • 线性求逆元 

• 中国剩余定理 Chinese Rimainder Theorem

　　

　　解法：

 

 

• 排列

　　　　求%P　　　　　　

• • $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$　　
  • m,n小于p时可以用O(n)的时间预处理，用O(1) 求值

　　　　　　方法

　　　　　　

　　　　

　　　　2.当m,n过大p过小，m,n>p 时

• • 　　卢卡斯定理

　　　　　　求c的公式

　   递归中每次当 m,n<p 时调用1中公式即可。

•  二项式定理

　　$(x+y)^n$ 中 $x^ty^{n-t}$ 的系数为  $C_n^t$