随机洗牌算法Knuth Shuffle和错排公式

Knuth随机洗牌算法：譬如现在有54张牌，如何洗牌才能保证随机性。可以这么考虑，从最末尾一张牌开始洗，对于每一张牌，编号在该牌前面的牌中任意一张选一张和当前牌进行交换，直至洗到第一张牌为止。参考代码如下：

void knuth() {
        for (int i = 54; i > 1; i--) {
            int id = rand() % (i - 1) + 1;
            swap(a[i], a[id]);
        }
    }

由上述方法可知，每一张牌经过洗牌之后一定不会出现在原来位置，那么一共会有多少情况呢，这其实就是错排的定义，n个数的错排数有如下递推公式：

f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))

公式的推导：首先让我们假设已知n-1个数和n-2个数的错排数，这时又在原来基础上加了一个数字，那么如果这n个数要构成错排，新加入的数字一定不能出现在自己的位置上，所以它只能选择其余的n-1个位置，不妨设选择了第k个位置，那么原本在第k个位置上的数又会跑到哪里去呢，这里有两种情况，原本的第k个数跑到第n个数的位置上去了，这时这两个数只是相互交换了位置，其余的n-2个数怎么排列完全不受影响，故此时有f(n-2)种情况；再考虑原本第k个数不在第n个数的位置上，那么除去第n个数，其余的n-1个数任然构成错排，错排数为f(n-1)。至此就可得递推式f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2));