题解 P2569 [SCOI2010]股票交易

第一道单调队列优化DP，写篇题解纪念一下

P2569 [SCOI2010]股票交易

题面很简单,我用(n,m,buy,sell,blimit,slimit)来分别代表(T,MaxP,AP,BP,AS,BS)

1.暴力

​ 应该挺好打的,转移如下

​ (f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j]))

​ (f[i][j]=MAX_{k=0}^{j}(f[i-w-1][k]-buy[i] imes(j-k)),((j-k)<blimit[i]))

​ (f[i][j]=MAX_{k=j}^{j+sli}(f[i-w-1][k]+sell[i] imes(k-j)),((k-j)<slimit[i]))

​ ((MAX)表示区间最大())

​ 这样做是(O(n^2))的,TLE

2.单调队列优化DP

​ 考虑优化,

​ 每次转移如下(以买入为例):

​ (f[i][j]=f[i-w-1][k]-buy[i] imes(j-k)),((j-k)<blimit[i]))

​ (RHS(右式)=f[i-w-1][k]-buy[i]*j+buy[i]*k,((j-k)<blimit[i]))

​ 那么我们到底有没有必要枚举(k) 呢?

​ 在枚举(k) 的过程中,(-buy[i]*j) 是定值,我们把它放到一边

​ 令数组(a[k]=f[i-w-1][k]+buy[i]*k)

​ 那么(a) 是一个与(i,j) 无关的数组,

​ 且(f[i-w-1][j])的答案只会从(a) 数组中产生

​ 则转移的本质其实是从同层且满足限制条件(条件即为blimit)的答案中选取最大的进行转移

​

​ 如上图每次只会增加一个元素,减去一个元素

​ 然后就滑动窗口了

3.代码

暴力(50pts):

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline 
#define R register int
#define ll long long
#define gc getchar
using namespace std;
il int rd()
{
    R x=0,flag=1;
    char ch=0;
    while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=gc();
    if(ch=='-')flag=-1,ch=gc();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return x*flag;
}
const int N=2010;
int n,m,w,ans;
int f[2002][2002];
int buy[N],sell[N],slimit[N],blimit[N];
int main ()
{
    n=rd(),m=rd(),w=rd();
    for(R i=1;i<=n;i++)
        buy[i]=rd(),sell[i]=rd(),blimit[i]=rd(),slimit[i]=rd();
    memset(f,0xcf,sizeof(f));
    for(R i=1;i<=n;i++)
        for(R j=0;j<=blimit[i];j++)
            f[i][j]=-buy[i]*j;
    for(R i=1;i<=n;i++)
    {
        for(R j=0;j<=m;j++)
        {
   	        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
            for(R k=0;k<=slimit[i];k++)
            {
                if(i>w)
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][j+k]+sell[i]*k);
            }
            for(R k=0;k<=blimit[i];k++)
            {
                if(i>w&&j>=k)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][j-k]-buy[i]*k);
            }
        }
    }
    for(R i=0;i<=m;i++)
        ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

正解(100pts,跑得巨慢):

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline 
#define R register int
#define ll long long
#define gc getchar
using namespace std;
il int rd()
{
    R x=0,flag=1;
    char ch=0;
    while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=gc();
    if(ch=='-')flag=-1,ch=gc();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return x*flag;
}
const int N=2010;
int n,m,w,ans;
int f[2002][2002];
int buy[N],sell[N],slimit[N],blimit[N];
deque<int> dq,dq2;
int main ()
{
    n=rd(),m=rd(),w=rd();
    for(R i=1;i<=n;i++)
        buy[i]=rd(),sell[i]=rd(),blimit[i]=rd(),slimit[i]=rd();
   memset(f,0xcf,sizeof(f));f[0][0]=0;
    for(R i=1;i<=n;i++)
    {
        
        while (!dq.empty()) dq.pop_back();
        while (!dq2.empty()) dq2.pop_back();
        R t=max(0,i-w-1);
        for(R j=0;j<=m;j++)
        {
             f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
            while(dq.size()&&f[t][j]>=f[t][dq.back()]-buy[i]*(j-dq.back()))
                dq.pop_back();
            dq.push_back(j);
            while(dq.size()&&j-dq.front()>blimit[i])dq.pop_front();
            f[i][j]=max(f[i][j],f[t][dq.front()]-buy[i]*(j-dq.front()));
        
        }
        for(R j=m;j+1;j--)
        {
            while(dq2.size()&&f[t][j]>=f[t][dq2.back()]+sell[i]*(dq2.back()-j))
                dq2.pop_back();
            dq2.push_back(j);
            while(dq2.size()&&dq2.front()-j>slimit[i])dq2.pop_front();
            f[i][j]=max(f[i][j],f[t][dq2.front()]+sell[i]*(dq2.front()-j));
        }
    }
    for(R i=0;i<=m;i++)
        ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

​