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  • 线段树入门

    线段树


    转载于http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326 


    一：线段树基本概念

    1：概述

    线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

    性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍


    2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

    线段树的主要操作有：

    (1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

    主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

    1. #include <iostream>  
    2. using namespace std;  
    3.   
    4. const int maxind = 256;  
    5. int segTree[maxind * 4 + 10];  
    6. int array[maxind];   
    7. /* 构造函数，得到线段树 */  
    8. void build(int node, int begin, int end)    
    9. {    
    10.     if (begin == end)    
    11.         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
    12.     else    
    13.     {     
    14.         /* 递归构造左右子树 */   
    15.         build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
    16.         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   
    17.            
    18.         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
    19.         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
    20.             segTree[node] = segTree[2 * node];    
    21.         else    
    22.             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
    23.     }    
    24. }  
    25.   
    26. int main()  
    27. {  
    28.     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
    29.     build(1, 0, 5);  
    30.     for(int i = 1; i<=20; ++i)  
    31.      cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;  
    32.     return 0;  
    33. }   
     此build构造成的树如图：

    (2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

    （其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

    主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

    比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

    1. int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
    2. {   
    3.     int p1, p2;    
    4.     
    5.     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
    6.     if (left > end || right < begin)    
    7.         return -1;    
    8.     
    9.     /*  if the current interval is included in  */    
    10.     /*  the query interval return segTree[node]  */  
    11.     if (begin >= left && end <= right)    
    12.         return segTree[node];    
    13.     
    14.     /*  compute the minimum position in the  */  
    15.     /*  left and right part of the interval  */   
    16.     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
    17.     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    
    18.     
    19.     /*  return the expect value  */   
    20.     if (p1 == -1)    
    21.         return p2;    
    22.     if (p2 == -1)    
    23.         return p1;    
    24.     if (p1 <= p2)    
    25.         return  p1;    
    26.     return  p2;      
    27. }   

    可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

    线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

    (3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

    动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

    a:单节点更新

    1. void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
    2. {    
    3.     
    4.     if( begin == end )    
    5.     {    
    6.         segTree[node] += add;    
    7.         return ;    
    8.     }    
    9.     int m = ( left + right ) >> 1;    
    10.     if(ind <= m)    
    11.         Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
    12.     else    
    13.         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
    14.     /*回溯更新父节点*/    
    15.     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     
    16.          
    17. }   

    b：区间更新（线段树中最有用的）

    需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

    void Change来自dongxicheng.org

    1. void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  
    2.    
    3. {  
    4.    
    5.   if (a <= p->Left && p->Right <= b)  
    6.    
    7.   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  
    8.    
    9.   {  
    10.    
    11.      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  
    12.    
    13.      return;  
    14.    
    15.   }  
    16.    
    17.   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  
    18.    
    19.   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 
    20.   
    21.   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  
    22.    
    23.   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  
    24.    
    25.   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  
    26.    
    27. }  



    3:主要应用

    (1)：区间最值查询问题 （见模板1）

    (2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

    (3)：多维空间的动态查询 （见模板3）


    二：典型模板

    模板1：

    RMQ，查询区间最值下标---min

    1. #include<iostream>    
    2.   
    3. using namespace std;    
    4.     
    5. #define MAXN 100    
    6. #define MAXIND 256 //线段树节点个数    
    7.     
    8. //构建线段树,目的:得到M数组.    
    9. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
    10. {    
    11.     if (b == e)    
    12.         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
    13.     else    
    14.     {     
    15.         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
    16.         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
    17.   
    18.         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
    19.             M[node] = M[2 * node];    
    20.         else    
    21.             M[node] = M[2 * node + 1];    
    22.     }    
    23. }    
    24.     
    25. //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
    26. int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
    27. {    
    28.     int p1, p2;    
    29.     
    30.     //查询区间和要求的区间没有交集    
    31.     if (i > e || j < b)    
    32.         return -1;    
    33.   
    34.     if (b >= i && e <= j)    
    35.         return M[node];    
    36.    
    37.     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
    38.     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
    39.     
    40.     //return the position where the overall    
    41.     //minimum is    
    42.     if (p1 == -1)    
    43.         return M[node] = p2;    
    44.     if (p2 == -1)    
    45.         return M[node] = p1;    
    46.     if (A[p1] <= A[p2])    
    47.         return M[node] = p1;    
    48.     return M[node] = p2;    
    49.     
    50. }    
    51.     
    52.     
    53. int main()    
    54. {    
    55.     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
    56.     memset(M,-1,sizeof(M));    
    57.     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
    58.     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
    59.     cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;    
    60.     return 0;    
    61. }    



    模板2：

    连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

    1. #include <cstdio>    
    2. #include <algorithm>    
    3. using namespace std;    
    4.      
    5. #define lson l , m , rt << 1    
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
    7. #define root 1 , N , 1   
    8. #define LL long long    
    9. const int maxn = 111111;    
    10. LL add[maxn<<2];    
    11. LL sum[maxn<<2];    
    12. void PushUp(int rt) {    
    13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
    14. }    
    15. void PushDown(int rt,int m) {    
    16.     if (add[rt]) {    
    17.         add[rt<<1] += add[rt];    
    18.         add[rt<<1|1] += add[rt];    
    19.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
    20.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
    21.         add[rt] = 0;    
    22.     }    
    23. }    
    24. void build(int l,int r,int rt) {    
    25.     add[rt] = 0;    
    26.     if (l == r) {    
    27.         scanf("%lld",&sum[rt]);    
    28.         return ;    
    29.     }    
    30.     int m = (l + r) >> 1;    
    31.     build(lson);    
    32.     build(rson);    
    33.     PushUp(rt);    
    34. }    
    35. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
    36.     if (L <= l && r <= R) {    
    37.         add[rt] += c;    
    38.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
    39.         return ;    
    40.     }    
    41.     PushDown(rt , r - l + 1);    
    42.     int m = (l + r) >> 1;    
    43.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
    44.     if (m < R) update(L , R , c , rson);    
    45.     PushUp(rt);    
    46. }    
    47. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
    48.     if (L <= l && r <= R) {    
    49.         return sum[rt];    
    50.     }    
    51.     PushDown(rt , r - l + 1);    
    52.     int m = (l + r) >> 1;    
    53.     LL ret = 0;    
    54.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
    55.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
    56.     return ret;    
    57. }    
    58. int main() {    
    59.     int N , Q;    
    60.     scanf("%d%d",&N,&Q);    
    61.     build(root);    
    62.     while (Q --) {    
    63.         char op[2];    
    64.         int a , b , c;    
    65.         scanf("%s",op);    
    66.         if (op[0] == 'Q') {    
    67.             scanf("%d%d",&a,&b);    
    68.             printf("%lld ",query(a , b ,root));    
    69.         } else {    
    70.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
    71.             update(a , b , c , root);    
    72.         }    
    73.     }    
    74.     return 0;    
    75. }    


    模板3：

    多维空间的动态查询



    三：练习题目

    下面是hh线段树代码，典型练习哇~

    在代码前先介绍一些我的线段树风格:

    • maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
    • lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
    • 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
    • PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
    • PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
    • rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

    整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:


    单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来


    • hdu1166 敌兵布阵
    • 题意:O(-1)
    • 思路:O(-1)
      线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

    code:

    1. #include<cstring>  
    2. #include<iostream>  
    3.   
    4. #define M 50005  
    5. #define lson l,m,rt<<1  
    6. #define rson m+1,r,rt<<1|1  
    7. /*left,right,root,middle*/  
    8.   
    9. int sum[M<<2];  
    10.   
    11. inline void PushPlus(int rt)  
    12. {  
    13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    14. }  
    15.   
    16. void Build(int l, int r, int rt)  
    17. {  
    18.     if(l == r)  
    19.     {  
    20.         scanf("%d", &sum[rt]);  
    21.         return ;  
    22.     }  
    23.     int m = ( l + r )>>1;  
    24.   
    25.     Build(lson);  
    26.     Build(rson);  
    27.     PushPlus(rt);  
    28. }  
    29.   
    30. void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
    31. {  
    32.   
    33.     if( l == r )  
    34.     {  
    35.         sum[rt] += add;  
    36.         return ;  
    37.     }  
    38.     int m = ( l + r ) >> 1;  
    39.     if(p <= m)  
    40.         Updata(p, add, lson);  
    41.     else  
    42.         Updata(p, add, rson);  
    43.   
    44.     PushPlus(rt);  
    45. }  
    46.   
    47. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
    48. {  
    49.     if( L <= l && r <= R )  
    50.     {  
    51.         return sum[rt];  
    52.     }  
    53.     int m = ( l + r ) >> 1;  
    54.     int ans=0;  
    55.     if(L<=m )  
    56.         ans+=Query(L,R,lson);  
    57.     if(R>m)  
    58.         ans+=Query(L,R,rson);  
    59.   
    60.     return ans;  
    61. }  
    62. int main()  
    63. {     
    64.     int T, n, a, b;  
    65.     scanf("%d",&T);  
    66.     for( int i = 1; i <= T; ++i )  
    67.     {  
    68.         printf("Case %d: ",i);  
    69.         scanf("%d",&n);  
    70.         Build(1,n,1);  
    71.   
    72.         char op[10];  
    73.   
    74.         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
    75.         {  
    76.   
    77.             scanf("%d %d", &a, &b);  
    78.             if(op[0] == 'Q')  
    79.                 printf("%d ",Query(a,b,1,n,1));  
    80.             else if(op[0] == 'S')  
    81.                 Updata(a,-b,1,n,1);  
    82.             else  
    83.                 Updata(a,b,1,n,1);  
    84.   
    85.         }  
    86.     }  
    87.     return 0;  
    88. }  

    hdu1754 I Hate It
    题意:O(-1)
    思路:O(-1)
    线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

    1. #include <cstdio>  
    2. #include <algorithm>  
    3. using namespace std;  
    4.    
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7. const int maxn = 222222;  
    8. int MAX[maxn<<2];  
    9. void PushUP(int rt) {  
    10.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
    11. }  
    12. void build(int l,int r,int rt) {  
    13.     if (l == r) {  
    14.         scanf("%d",&MAX[rt]);  
    15.         return ;  
    16.     }  
    17.     int m = (l + r) >> 1;  
    18.     build(lson);  
    19.     build(rson);  
    20.     PushUP(rt);  
    21. }  
    22. void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {  
    23.     if (l == r) {  
    24.         MAX[rt] = sc;  
    25.         return ;  
    26.     }  
    27.     int m = (l + r) >> 1;  
    28.     if (p <= m) update(p , sc , lson);  
    29.     else update(p , sc , rson);  
    30.     PushUP(rt);  
    31. }  
    32. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    33.     if (L <= l && r <= R) {  
    34.         return MAX[rt];  
    35.     }  
    36.     int m = (l + r) >> 1;  
    37.     int ret = 0;  
    38.     if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));  
    39.     if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));  
    40.     return ret;  
    41. }  
    42. int main() {  
    43.     int n , m;  
    44.     while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {  
    45.         build(1 , n , 1);  
    46.         while (m --) {  
    47.             char op[2];  
    48.             int a , b;  
    49.             scanf("%s%d%d",op,&a,&b);  
    50.             if (op[0] == 'Q') printf("%d ",query(a , b , 1 , n , 1));  
    51.             else update(a , b , 1 , n , 1);  
    52.         }  
    53.     }  
    54.     return 0;  
    55. }  

    hdu1394 Minimum Inversion Number
    题意:求Inversion后的最小逆序数
    思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
    线段树功能:update:单点增减 query:区间求和
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <algorithm>  
    3. using namespace std;  
    4.    
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7. const int maxn = 5555;  
    8. int sum[maxn<<2];  
    9. void PushUP(int rt) {  
    10.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    11. }  
    12. void build(int l,int r,int rt) {  
    13.     sum[rt] = 0;  
    14.     if (l == r) return ;  
    15.     int m = (l + r) >> 1;  
    16.     build(lson);  
    17.     build(rson);  
    18. }  
    19. void update(int p,int l,int r,int rt) {  
    20.     if (l == r) {  
    21.         sum[rt] ++;  
    22.         return ;  
    23.     }  
    24.     int m = (l + r) >> 1;  
    25.     if (p <= m) update(p , lson);  
    26.     else update(p , rson);  
    27.     PushUP(rt);  
    28. }  
    29. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    30.     if (L <= l && r <= R) {  
    31.         return sum[rt];  
    32.     }  
    33.     int m = (l + r) >> 1;  
    34.     int ret = 0;  
    35.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
    36.     if (R > m) ret += query(L , R , rson);  
    37.     return ret;  
    38. }  
    39. int x[maxn];  
    40. int main() {  
    41.     int n;  
    42.     while (~scanf("%d",&n)) {  
    43.         build(0 , n - 1 , 1);  
    44.         int sum = 0;  
    45.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
    46.             scanf("%d",&x[i]);  
    47.             sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);  
    48.             update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);  
    49.         }  
    50.         int ret = sum;  
    51.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
    52.             sum += n - x[i] - x[i] - 1;  
    53.             ret = min(ret , sum);  
    54.         }  
    55.         printf("%d ",ret);  
    56.     }  
    57.     return 0;  
    58. }  

    hdu2795 Billboard
    题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
    思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
    线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <algorithm>  
    3. using namespace std;  
    4.    
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7. const int maxn = 222222;  
    8. int h , w , n;  
    9. int MAX[maxn<<2];  
    10. void PushUP(int rt) {  
    11.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
    12. }  
    13. void build(int l,int r,int rt) {  
    14.     MAX[rt] = w;  
    15.     if (l == r) return ;  
    16.     int m = (l + r) >> 1;  
    17.     build(lson);  
    18.     build(rson);  
    19. }  
    20. int query(int x,int l,int r,int rt) {  
    21.     if (l == r) {  
    22.         MAX[rt] -= x;  
    23.         return l;  
    24.     }  
    25.     int m = (l + r) >> 1;  
    26.     int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);  
    27.     PushUP(rt);  
    28.     return ret;  
    29. }  
    30. int main() {  
    31.     while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {  
    32.         if (h > n) h = n;  
    33.         build(1 , h , 1);  
    34.         while (n --) {  
    35.             int x;  
    36.             scanf("%d",&x);  
    37.             if (MAX[1] < x) puts("-1");  
    38.             else printf("%d ",query(x , 1 , h , 1));  
    39.         }  
    40.     }  
    41.     return 0;  
    42. }  

    成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

    hdu1698 Just a Hook
    题意:O(-1)
    思路:O(-1)
    线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <algorithm>  
    3. using namespace std;  
    4.    
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7. const int maxn = 111111;  
    8. int h , w , n;  
    9. int col[maxn<<2];  
    10. int sum[maxn<<2];  
    11. void PushUp(int rt) {  
    12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    13. }  
    14. void PushDown(int rt,int m) {  
    15.     if (col[rt]) {  
    16.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
    17.         sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];  
    18.         sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];  
    19.         col[rt] = 0;  
    20.     }  
    21. }  
    22. void build(int l,int r,int rt) {  
    23.     col[rt] = 0;  
    24.     sum[rt] = 1;  
    25.     if (l == r) return ;  
    26.     int m = (l + r) >> 1;  
    27.     build(lson);  
    28.     build(rson);  
    29.     PushUp(rt);  
    30. }  
    31. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    32.     if (L <= l && r <= R) {  
    33.         col[rt] = c;  
    34.         sum[rt] = c * (r - l + 1);  
    35.         return ;  
    36.     }  
    37.     PushDown(rt , r - l + 1);  
    38.     int m = (l + r) >> 1;  
    39.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    40.     if (R > m) update(L , R , c , rson);  
    41.     PushUp(rt);  
    42. }  
    43. int main() {  
    44.     int T , n , m;  
    45.     scanf("%d",&T);  
    46.     for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {  
    47.         scanf("%d%d",&n,&m);  
    48.         build(1 , n , 1);  
    49.         while (m --) {  
    50.             int a , b , c;  
    51.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
    52.             update(a , b , c , 1 , n , 1);  
    53.         }  
    54.         printf("Case %d: The total value of the hook is %d. ",cas , sum[1]);  
    55.     }  
    56.     return 0;  
    57. }  

    poj3468 A Simple Problem with Integers
    题意:O(-1)
    思路:O(-1)
    线段树功能:update:成段增减 query:区间求和
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <algorithm>  
    3. using namespace std;  
    4.    
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7. #define LL long long  
    8. const int maxn = 111111;  
    9. LL add[maxn<<2];  
    10. LL sum[maxn<<2];  
    11. void PushUp(int rt) {  
    12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    13. }  
    14. void PushDown(int rt,int m) {  
    15.     if (add[rt]) {  
    16.         add[rt<<1] += add[rt];  
    17.         add[rt<<1|1] += add[rt];  
    18.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));  
    19.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);  
    20.         add[rt] = 0;  
    21.     }  
    22. }  
    23. void build(int l,int r,int rt) {  
    24.     add[rt] = 0;  
    25.     if (l == r) {  
    26.         scanf("%lld",&sum[rt]);  
    27.         return ;  
    28.     }  
    29.     int m = (l + r) >> 1;  
    30.     build(lson);  
    31.     build(rson);  
    32.     PushUp(rt);  
    33. }  
    34. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    35.     if (L <= l && r <= R) {  
    36.         add[rt] += c;  
    37.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);  
    38.         return ;  
    39.     }  
    40.     PushDown(rt , r - l + 1);  
    41.     int m = (l + r) >> 1;  
    42.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    43.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    44.     PushUp(rt);  
    45. }  
    46. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    47.     if (L <= l && r <= R) {  
    48.         return sum[rt];  
    49.     }  
    50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
    51.     int m = (l + r) >> 1;  
    52.     LL ret = 0;  
    53.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
    54.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);  
    55.     return ret;  
    56. }  
    57. int main() {  
    58.     int N , Q;  
    59.     scanf("%d%d",&N,&Q);  
    60.     build(1 , N , 1);  
    61.     while (Q --) {  
    62.         char op[2];  
    63.         int a , b , c;  
    64.         scanf("%s",op);  
    65.         if (op[0] == 'Q') {  
    66.             scanf("%d%d",&a,&b);  
    67.             printf("%lld ",query(a , b , 1 , N , 1));  
    68.         } else {  
    69.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
    70.             update(a , b , c , 1 , N , 1);  
    71.         }  
    72.     }  
    73.     return 0;  
    74. }  

    poj2528 Mayor’s posters
    题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
    思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
    离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
    所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
    而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
    给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
    例子一:1-10 1-4 5-10
    例子二:1-10 1-4 6-10
    普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
    线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
    例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

    为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]
    如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.
    线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

    1. #include <cstdio>  
    2. #include <cstring>  
    3. #include <algorithm>  
    4. using namespace std;  
    5. #define lson l , m , rt << 1  
    6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    7.    
    8. const int maxn = 11111;  
    9. bool hash[maxn];  
    10. int li[maxn] , ri[maxn];  
    11. int X[maxn*3];  
    12. int col[maxn<<4];  
    13. int cnt;  
    14.    
    15. void PushDown(int rt) {  
    16.     if (col[rt] != -1) {  
    17.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
    18.         col[rt] = -1;  
    19.     }  
    20. }  
    21. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    22.     if (L <= l && r <= R) {  
    23.         col[rt] = c;  
    24.         return ;  
    25.     }  
    26.     PushDown(rt);  
    27.     int m = (l + r) >> 1;  
    28.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    29.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    30. }  
    31. void query(int l,int r,int rt) {  
    32.     if (col[rt] != -1) {  
    33.         if (!hash[col[rt]]) cnt ++;  
    34.         hash[ col[rt] ] = true;  
    35.         return ;  
    36.     }  
    37.     if (l == r) return ;  
    38.     int m = (l + r) >> 1;  
    39.     query(lson);  
    40.     query(rson);  
    41. }  
    42. int Bin(int key,int n,int X[]) {  
    43.     int l = 0 , r = n - 1;  
    44.     while (l <= r) {  
    45.         int m = (l + r) >> 1;  
    46.         if (X[m] == key) return m;  
    47.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
    48.         else r = m - 1;  
    49.     }  
    50.     return -1;  
    51. }  
    52. int main() {  
    53.     int T , n;  
    54.     scanf("%d",&T);  
    55.     while (T --) {  
    56.         scanf("%d",&n);  
    57.         int nn = 0;  
    58.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
    59.             scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);  
    60.             X[nn++] = li[i];  
    61.             X[nn++] = ri[i];  
    62.         }  
    63.         sort(X , X + nn);  
    64.         int m = 1;  
    65.         for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {  
    66.             if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];  
    67.         }  
    68.         for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {  
    69.             if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;  
    70.         }  
    71.         sort(X , X + m);  
    72.         memset(col , -1 , sizeof(col));  
    73.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
    74.             int l = Bin(li[i] , m , X);  
    75.             int r = Bin(ri[i] , m , X);  
    76.             update(l , r , i , 0 , m , 1);  
    77.         }  
    78.         cnt = 0;  
    79.         memset(hash , false , sizeof(hash));  
    80.         query(0 , m , 1);  
    81.         printf("%d ",cnt);  
    82.     }  
    83.     return 0;  
    84. }  

    poj3225 Help with Intervals
    题意:区间操作,交,并,补等
    思路:
    我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
    U:把区间[l,r]覆盖成1
    I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
    D:把区间[l,r]覆盖成0
    C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
    S:[l,r]区间0/1互换

    成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作
    很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了
    所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空
    而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

    开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)
    线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

    1. #include <cstdio>  
    2. #include <cstring>  
    3. #include <cctype>  
    4. #include <algorithm>  
    5. using namespace std;  
    6. #define lson l , m , rt << 1  
    7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    8.    
    9. const int maxn = 131072;  
    10. bool hash[maxn+1];  
    11. int cover[maxn<<2];  
    12. int XOR[maxn<<2];  
    13. void FXOR(int rt) {  
    14.     if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;  
    15.     else XOR[rt] ^= 1;  
    16. }  
    17. void PushDown(int rt) {  
    18.     if (cover[rt] != -1) {  
    19.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
    20.         XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;  
    21.         cover[rt] = -1;  
    22.     }  
    23.     if (XOR[rt]) {  
    24.         FXOR(rt<<1);  
    25.         FXOR(rt<<1|1);  
    26.         XOR[rt] = 0;  
    27.     }  
    28. }  
    29. void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    30.     if (L <= l && r <= R) {  
    31.         if (op == 'U') {  
    32.             cover[rt] = 1;  
    33.             XOR[rt] = 0;  
    34.         } else if (op == 'D') {  
    35.             cover[rt] = 0;  
    36.             XOR[rt] = 0;  
    37.         } else if (op == 'C' || op == 'S') {  
    38.             FXOR(rt);  
    39.         }  
    40.         return ;  
    41.     }  
    42.     PushDown(rt);  
    43.     int m = (l + r) >> 1;  
    44.     if (L <= m) update(op , L , R , lson);  
    45.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
    46.         XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;  
    47.     }  
    48.     if (m < R) update(op , L , R , rson);  
    49.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
    50.         XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;  
    51.     }  
    52. }  
    53. void query(int l,int r,int rt) {  
    54.     if (cover[rt] == 1) {  
    55.         for (int it = l ; it <= r ; it ++) {  
    56.             hash[it] = true;  
    57.         }  
    58.         return ;  
    59.     } else if (cover[rt] == 0) return ;  
    60.     if (l == r) return ;  
    61.     PushDown(rt);  
    62.     int m = (l + r) >> 1;  
    63.     query(lson);  
    64.     query(rson);  
    65. }  
    66. int main() {  
    67.     cover[1] = XOR[1] = 0;  
    68.     char op , l , r;  
    69.     int a , b;  
    70.     while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c ",&op , &l , &a , &b , &r) ) {  
    71.         a <<= 1 , b <<= 1;  
    72.         if (l == '(') a ++;  
    73.         if (r == ')') b --;  
    74.         if (a > b) {  
    75.             if (op == 'C' || op == 'I') {  
    76.                 cover[1] = XOR[1] = 0;  
    77.             }  
    78.         } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);  
    79.     }  
    80.     query(0 , maxn , 1);  
    81.     bool flag = false;  
    82.     int s = -1 , e;  
    83.     for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {  
    84.         if (hash[i]) {  
    85.             if (s == -1) s = i;  
    86.             e = i;  
    87.         } else {  
    88.             if (s != -1) {  
    89.                 if (flag) printf(" ");  
    90.                 flag = true;  
    91.                 printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');  
    92.                 s = -1;  
    93.             }  
    94.         }  
    95.     }  
    96.     if (!flag) printf("empty set");  
    97.     puts("");  
    98.     return 0;  
    99. }  
    练习
    poj1436 Horizontally Visible Segments
    poj2991 Crane
    Another LCIS
    Bracket Sequence

    区间合并

    这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并
    poj3667 Hotel
    题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边
    2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
    思路:记录区间中最长的空房间
    线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <cstring>  
    3. #include <cctype>  
    4. #include <algorithm>  
    5. using namespace std;  
    6. #define lson l , m , rt << 1  
    7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    8.    
    9. const int maxn = 55555;  
    10. int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];  
    11. int cover[maxn<<2];  
    12.    
    13. void PushDown(int rt,int m) {  
    14.     if (cover[rt] != -1) {  
    15.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
    16.         msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);  
    17.         msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);  
    18.         cover[rt] = -1;  
    19.     }  
    20. }  
    21. void PushUp(int rt,int m) {  
    22.     lsum[rt] = lsum[rt<<1];  
    23.     rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];  
    24.     if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];  
    25.     if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];  
    26.     msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));  
    27. }  
    28. void build(int l,int r,int rt) {  
    29.     msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;  
    30.     cover[rt] = -1;  
    31.     if (l == r) return ;  
    32.     int m = (l + r) >> 1;  
    33.     build(lson);  
    34.     build(rson);  
    35. }  
    36. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    37.     if (L <= l && r <= R) {  
    38.         msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;  
    39.         cover[rt] = c;  
    40.         return ;  
    41.     }  
    42.     PushDown(rt , r - l + 1);  
    43.     int m = (l + r) >> 1;  
    44.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    45.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    46.     PushUp(rt , r - l + 1);  
    47. }  
    48. int query(int w,int l,int r,int rt) {  
    49.     if (l == r) return l;  
    50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
    51.     int m = (l + r) >> 1;  
    52.     if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);  
    53.     else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;  
    54.     return query(w , rson);  
    55. }  
    56. int main() {  
    57.     int n , m;  
    58.     scanf("%d%d",&n,&m);  
    59.     build(1 , n , 1);  
    60.     while (m --) {  
    61.         int op , a , b;  
    62.         scanf("%d",&op);  
    63.         if (op == 1) {  
    64.             scanf("%d",&a);  
    65.             if (msum[1] < a) puts("0");  
    66.             else {  
    67.                 int p = query(a , 1 , n , 1);  
    68.                 printf("%d ",p);  
    69.                 update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);  
    70.             }  
    71.         } else {  
    72.             scanf("%d%d",&a,&b);  
    73.             update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);  
    74.         }  
    75.     }  
    76.     return 0;  
    77. }  

    练习
    hdu3308 LCIS
    hdu3397 Sequence operation
    hdu2871 Memory Control
    hdu1540 Tunnel Warfare
    CF46-D Parking Lot

    扫描线

    这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
    最典型的就是矩形面积并,周长并等题

    hdu1542 Atlantis
    题意:矩形面积并
    思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和
    这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下
    线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <cstring>  
    3. #include <cctype>  
    4. #include <algorithm>  
    5. using namespace std;  
    6. #define lson l , m , rt << 1  
    7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    8.    
    9. const int maxn = 2222;  
    10. int cnt[maxn << 2];  
    11. double sum[maxn << 2];  
    12. double X[maxn];  
    13. struct Seg {  
    14.     double h , l , r;  
    15.     int s;  
    16.     Seg(){}  
    17.     Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
    18.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
    19.         return h < cmp.h;  
    20.     }  
    21. }ss[maxn];  
    22. void PushUp(int rt,int l,int r) {  
    23.     if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];  
    24.     else if (l == r) sum[rt] = 0;  
    25.     else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
    26. }  
    27. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    28.     if (L <= l && r <= R) {  
    29.         cnt[rt] += c;  
    30.         PushUp(rt , l , r);  
    31.         return ;  
    32.     }  
    33.     int m = (l + r) >> 1;  
    34.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    35.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    36.     PushUp(rt , l , r);  
    37. }  
    38. int Bin(double key,int n,double X[]) {  
    39.     int l = 0 , r = n - 1;  
    40.     while (l <= r) {  
    41.         int m = (l + r) >> 1;  
    42.         if (X[m] == key) return m;  
    43.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
    44.         else r = m - 1;  
    45.     }  
    46.     return -1;  
    47. }  
    48. int main() {  
    49.     int n , cas = 1;  
    50.     while (~scanf("%d",&n) && n) {  
    51.         int m = 0;  
    52.         while (n --) {  
    53.             double a , b , c , d;  
    54.             scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);  
    55.             X[m] = a;  
    56.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
    57.             X[m] = c;  
    58.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
    59.         }  
    60.         sort(X , X + m);  
    61.         sort(ss , ss + m);  
    62.         int k = 1;  
    63.         for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {  
    64.             if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];  
    65.         }  
    66.         memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));  
    67.         memset(sum , 0 , sizeof(sum));  
    68.         double ret = 0;  
    69.         for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {  
    70.             int l = Bin(ss[i].l , k , X);  
    71.             int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;  
    72.             if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);  
    73.             ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
    74.         }  
    75.         printf("Test case #%d Total explored area: %.2lf ",cas++ , ret);  
    76.     }  
    77.     return 0;  
    78. }  

    hdu1828 Picture
    题意:矩形周长并
    思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
    线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
    1. #include <cstdio>  
    2. #include <cstring>  
    3. #include <cctype>  
    4. #include <algorithm>  
    5. using namespace std;  
    6. #define lson l , m , rt << 1  
    7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
    8.    
    9. const int maxn = 22222;  
    10. struct Seg{  
    11.     int l , r , h , s;  
    12.     Seg() {}  
    13.     Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
    14.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
    15.         if (h == cmp.h) return s > cmp.s;  
    16.         return h < cmp.h;  
    17.     }  
    18. }ss[maxn];  
    19. bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];  
    20. int numseg[maxn<<2];  
    21. int cnt[maxn<<2];  
    22. int len[maxn<<2];  
    23. void PushUP(int rt,int l,int r) {  
    24.     if (cnt[rt]) {  
    25.         lbd[rt] = rbd[rt] = 1;  
    26.         len[rt] = r - l + 1;  
    27.         numseg[rt] = 2;  
    28.     } else if (l == r) {  
    29.         len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;  
    30.     } else {  
    31.         lbd[rt] = lbd[rt<<1];  
    32.         rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];  
    33.         len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];  
    34.         numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];  
    35.         if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合  
    36.     }  
    37. }  
    38. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    39.     if (L <= l && r <= R) {  
    40.         cnt[rt] += c;  
    41.         PushUP(rt , l , r);  
    42.         return ;  
    43.     }  
    44.     int m = (l + r) >> 1;  
    45.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    46.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    47.     PushUP(rt , l , r);  
    48. }  
    49. int main() {  
    50.     int n;  
    51.     while (~scanf("%d",&n)) {  
    52.         int m = 0;  
    53.         int lbd = 10000, rbd = -10000;  
    54.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
    55.             int a , b , c , d;  
    56.             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);  
    57.             lbd = min(lbd , a);  
    58.             rbd = max(rbd , c);  
    59.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
    60.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
    61.         }  
    62.         sort(ss , ss + m);  
    63.         int ret = 0 , last = 0;  
    64.         for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {  
    65.             if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);  
    66.             ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
    67.             ret += abs(len[1] - last);  
    68.             last = len[1];  
    69.         }  
    70.         printf("%d ",ret);  
    71.     }  
    72.     return 0;  
    73. }  

    练习
    hdu3265 Posters
    hdu3642 Get The Treasury
    poj2482 Stars in Your Window
    poj2464 Brownie Points II
    hdu3255 Farming 
    ural1707 Hypnotoad’s Secret
    uva11983 Weird Advertisement

    多颗线段树问题

    此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间
    题意：
    维护一个有序数列{An}，有三种操作：
    1、添加一个元素。
    2、删除一个元素。
    3、求数列中下标%5 = 3的值的和。
    由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和
    1. #include<iostream>  
    2. #include<cstdio>  
    3. #include<cstring>  
    4. #include<algorithm>  
    5. using namespace std;  
    6. const int maxn=100002;  
    7.   
    8. #define lson l , m , rt << 1    
    9. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
    10.   
    11. __int64 sum[maxn<<2][6];  
    12. int cnt[maxn << 2];  
    13.   
    14. char op[maxn][20];  
    15. int a[maxn];  
    16.   
    17. int X[maxn];  
    18.   
    19. void PushUp(int rt)  
    20. {  
    21.     cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];  
    22.       
    23.     int offset = cnt[rt<<1];  
    24.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
    25.     {  
    26.         sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];  
    27.     }  
    28.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
    29.     {  
    30.         sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];  
    31.     }  
    32. }  
    33.   
    34. void Build(int l, int r, int rt)    
    35. {   /*此题Build完全可以用一个memset代替*/  
    36.     cnt[rt] = 0;  
    37.     for(int i = 0; i < 5; ++i)   sum[rt][i] = 0;  
    38.     if( l == r ) return;  
    39.     int m = ( l + r )>>1;      
    40.     Build(lson);    
    41.     Build(rson);     
    42. }   
    43.   
    44. void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)    
    45. {     
    46.     if( l == r )    
    47.     {    
    48.         cnt[rt] = op;   
    49.         sum[rt][1] = op * X[l-1];   
    50.         return ;    
    51.     }    
    52.     int m = ( l + r ) >> 1;    
    53.     if(p <= m)    
    54.         Updata(p, op, lson);    
    55.     else    
    56.         Updata(p, op, rson);    
    57.     
    58.     PushUp(rt);    
    59. }   
    60.   
    61. int main()  
    62. {  
    63.     int n;  
    64.     while(scanf("%d", &n) != EOF)  
    65.     {  
    66.         int nn = 0;  
    67.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
    68.         {  
    69.             scanf("%s", &op[i]);  
    70.               
    71.             if(op[i][0] != 's')  
    72.             {  
    73.                 scanf("%d", &a[i]);  
    74.                 if(op[i][0] == 'a')  
    75.                 {  
    76.                     X[nn++] = a[i];  
    77.                 }  
    78.             }  
    79.         }  
    80.           
    81.         sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/  
    82.         nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/  
    83.           
    84.         Build(1, nn, 1);  
    85.           
    86.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
    87.         {  
    88.             int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */   
    89.             if(op[i][0] == 'a')  
    90.             {  
    91.                 Updata(pos, 1, 1, nn, 1);  
    92.             }  
    93.             else if(op[i][0] == 'd')  
    94.             {  
    95.                 Updata(pos, 0, 1, nn, 1);  
    96.             }  
    97.             else printf("%I64d ",sum[1][3]);  
    98.         }  
    99.     }  
    100.     return 0;  
    101. }  

    题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0  （r>=i>=l） 的数ai增加c, 最后单点查询。
    这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。
    1. #include<iostream>  
    2. #include<cstdio>  
    3. #include<cstring>  
    4. #include<cmath>  
    5. #include<algorithm>  
    6. #include<set>  
    7. #include<vector>  
    8. #include<string>  
    9. #include<map>  
    10. #define eps 1e-7  
    11. #define LL long long  
    12. #define N 500005  
    13. #define zero(a) fabs(a)<eps  
    14. #define lson step<<1  
    15. #define rson step<<1|1  
    16. #define MOD 1234567891  
    17. #define pb(a) push_back(a)  
    18. using namespace std;  
    19. struct Node{  
    20.     int left,right,add[55],sum;  
    21.     int mid(){return (left+right)/2;}  
    22. }L[4*N];  
    23. int a[N],n,b[11][11];  
    24. void Bulid(int step ,int l,int r){  
    25.     L[step].left=l;  
    26.     L[step].right=r;  
    27.     L[step].sum=0;  
    28.     memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));  
    29.     if(l==r) return ;  
    30.     Bulid(lson,l,L[step].mid());  
    31.     Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);  
    32. }  
    33. void push_down(int step){  
    34.     if(L[step].sum){  
    35.         L[lson].sum+=L[step].sum;  
    36.         L[rson].sum+=L[step].sum;  
    37.         L[step].sum=0;  
    38.         for(int i=0;i<55;i++){  
    39.                 L[lson].add[i]+=L[step].add[i];  
    40.                 L[rson].add[i]+=L[step].add[i];  
    41.                 L[step].add[i]=0;  
    42.         }  
    43.     }  
    44. }  
    45. void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){  
    46.     if(L[step].left==l&&L[step].right==r){  
    47.         L[step].sum+=num;  
    48.         L[step].add[b[i][j]]+=num;  
    49.         return;  
    50.     }  
    51.     push_down(step);  
    52.     if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);  
    53.     else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);  
    54.     else {  
    55.         update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);  
    56.         update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);  
    57.     }  
    58. }  
    59. int query(int step,int pos){  
    60.     if(L[step].left==L[step].right){  
    61.         int tmp=0;  
    62.         for(int i=1;i<=10;i++)  tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];  
    63.         return a[L[step].left]+tmp;  
    64.     }  
    65.     push_down(step);  
    66.     if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);  
    67.     else return query(rson,pos);  
    68. }  
    69. int main(){  
    70.     int cnt=0;  
    71.     for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j<i;j++) b[i][j]=cnt++;  
    72.     while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
    73.         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);  
    74.         Bulid(1,1,n);  
    75.         int q,d;  
    76.         scanf("%d",&q);  
    77.         while(q--){  
    78.             int k,l,r,m;  
    79.             scanf("%d",&k);  
    80.             if(k==2){  
    81.                 scanf("%d",&m);  
    82.                 printf("%d ",query(1,m));  
    83.             }  
    84.             else{  
    85.                 scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);  
    86.                 update(1,l,r,m,d,l%d);  
    87.             }  
    88.         }  
    89.     }  
    90.     return 0;  
    91. }  
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