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  • Fibonacci数性质

    Fibonacci数性质

    0.(F_{n-1}+F_{n-2}=F_{n} ,特殊的 F_{0}=1,F_{1}=1)

    上述式子为定义式

    1.(F_{0}+F_{1}+...+F_{n}=F_{n+2}-1)

    证明:

    (F_0+F_1=F_2)

    (F_1+F_2=F_3)

    (F_2+F_3=F_4)

    (vdots)

    (F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2})

    (F_{0}+2F_{1}+2F_{2}+...+2F_{n}+F_{n+1}=F_1+F_2+...+F_{n+2})

    (F_0+F_1+F_2+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}-F_{1}=F_{n+2}-1)

    2.(F_{1}+F_{3}+...+F_{2n-1}=F_{2n})

    证明

    (F_{1}=F_{0}+1)

    (F_{3}=F_{2}+F_{1})

    (vdots)

    (F_{2n-1}=F_{2n-2}+F_{2n-3})

    (F_{1}+F_{3}+...+F_{2n-1}=1+F_{0}+F_{1}+F_{2}+...+F_{2n-3}+F_{2n-2}=1+F_{2n}-1=F_{2n})

    3.(F_0+F_2+...+F_{2n}=F_{2n+1}-1)

    证明:

    (F_0+F_1+...+F_n=F_{n+2}-1)(F_1+F_3+...+F_{2n-1}=F_{2n})

    $F_0+F_2...+F_{2n}=F_{2n+2}-F_{2n}-1=F_{2n+1}-1 $

    4.(F_0^2+F_1^2+F_2^2+...F_{n-1}^2+F_n^2=F_n F_{n+1})

    证明

    (F_0^2=F_0*F_1) ,假设有 (F_{0}^2+F_1^2+F_2^2+...+F_{n-1}^2=F_{n-1} F_{n})

    那么 (F_0^2+F_1^2+...+F^2_{n-1}+F^2_{n}=F_{n-1}F_{n}+F_{n}^2=F_{n}F_{n+1})

    5.(F_{n+2}+F_{n-2}=3 imes F_{n})

    证明

    (F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}=(F_{n}+F_{n-1})+F_{n}=(F_{n}+(F_{n}-F_{n-2}))+F_{n}=3 imes F_{n}-F_{n-2})

    6.(gcd(F_{n+1},F_{n})=1)

    证明:
    根据辗转相减法则
    $ gcd(F_{n+1},F_{n}) =gcd(F_{n+1}-F_{n},F_{n}) =gcd(F_{n},F_{n-1}) =gcd(F_{2},F_{1}) =1$

    7.(F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1})

    (F_n)看做斐波那契的第1项,那么到第(F_{n+m})项时,系数为(F_{m-1})

    (F_{n+1})看做斐波那契的第2项,那么到第(F_{n+m})项时,系数为(F_{m})

    8.(gcd(F_{n+m},F_{n})=gcd(F_{n},F_{m}))

    证明:
    (gcd(F_{n+m},F_{n})=gcd(F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1},F_{n})=gcd(F_{n+1}F_{m},F_{n})=gcd(F_{m},F_{n}))

    9.(gcd(F_{n},F_{m})=F_{gcd(n,m)})

    由8式得,Fibonacci数满足下标的辗转相减

    (gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{gcd(n,m)},F_{gcd(n,m)})=F_{gcd(n,m)})

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