原题链接AcWing 456. 车站分级
抽象出题意,停靠过的车站的等级一定严格大于为停靠过的车站的等级,且不存在环,例如车站(A)等级大于车站(B),则(A >= B + 1),不妨从(B)向(A)连一条边,表示等级关系,题目要求车站的最小等级中最大是多少,即求最长路,那这就是一个差分约束系统。
而对于差分约束系统:
如果边权有正有负:则使用(spfa)
如果边权非负,那么可以使用(tarjan)缩点+递推,(拓扑排序 + 递推)的方式求最长路或者最短路。
同时,对于本题,把未停靠的站点和停靠的分成两个集合,那么需要连边最坏情况下是要(n^2),考虑最坏情况下,一共有(1000)趟车,每一趟都是从1~n站,其中停靠了(500)个站,还有(500)个未停靠,那么这时候连边就是(500 * 500 * 1000 = 250000000),显然,复杂度爆炸,但是考虑一种优化,在集合中间建立虚拟结点,左边边权是(0),右边边权是(1),那么就优化成了(O(n + m))连边方式了,再算一下最坏情况下的数据量,((500 + 500) * 1000 = 1000000),这样就可以过了,直接优化成了线性,并且完全等价于(O(n^2))连边的方式。
// Problem: 车站分级
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/458/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010, M = 1E6 + 10;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, m;
int d[N];
int dist[N];
int seq[N], cnt;
bool st[N];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
d[b]++;
}
void topsort() {
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n + m; i++) {
if (!d[i]) q.push(i);
}
while (q.size()) {
int t = q.front();
q.pop();
seq[cnt++] = t;
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (--d[j] == 0) q.push(j);
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int cnt;
scanf("%d", &cnt);
memset(st, 0, sizeof st);
int start = n, end = 1;
while (cnt--) {
int k;
scanf("%d", &k);
start = min(start, k);
end = max(end, k);
st[k] = true;
}
int vir = n + i;
for (int j = start; j <= end; j++) {
if (!st[j]) add(j, vir, 0);
else add(vir, j, 1);
}
}
topsort();
for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = 1;
for (int j = 0; j < n + m; j++) {
int var = seq[j];
for (int k = h[var]; ~k; k = ne[k]) {
dist[e[k]] = max(dist[e[k]], dist[var] + w[k]);
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, dist[i]);
printf("%d
", res);
return 0;
}