拖了有段时间，今天来总结下两个常用的素数筛法：
1、sieve of Eratosthenes【埃氏筛法】
这是最简单朴素的素数筛法了，根据wikipedia，时间复杂度为 
，空间复杂度为O（n）。
算法思想：先假定所有的数都是素数，然后从最小的素数2出发，把素数的所有倍数筛出去。又因为一个数的质因数都是成对出现的，比如100 = 1*100 = 2*50 = .....= 10*10，所以筛素数时只用筛到 n的开平方就行了。
伪代码如下：
对于任意的范围n，
设bool prime[ ]，初始化 2→n 的元素为false，
for（i=2; i < sqrt(n); i+++）
if (!prime[ i ])
for(j = i*i; j * i < n; j+=i)
prime[ j ] = false
2、sieve of Euler【欧拉线性筛】
尽管把埃氏筛法“优化”到n的开平方，但是还是做了很多重复的工作，比如 合数 6，它就会被2，和3重复筛出。
根据“每个整数都可以分解成它的 质因数之积”，因此每个数只需要被它的最小质因数筛除。
由上可以得到线性时间复杂度的筛法，欧拉筛法。
算法思路：
欧拉筛是个以空间换时间的算法，用prime[ ]数组记录素数，初始bool数组is_prime[ ]为false记录每个数是否是素数，
伪代码如下：
k = 0
for(i = 2; i < n; i++)
if(!is_prime[i])
prime[k++] = i
for(j = 0; j < k&&i * prime[ j ]; j++)
is_prime[i*prime[ j ]] = true;
if(i % prime[ j ]) break; //关键步骤。在此的prime[ j ]一定是i的最小质因子，you can gusse why~0-0
【以下是实现代码，外加两种算法在时间上的比对】
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long maxn = 100000000;
bool is_prime[maxn];
int EUprime[maxn];
bool ERprime[maxn];
int euler(int n){
int k = 0;
memset(is_prime,false, sizeof(is_prime));
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(!is_prime[i])
EUprime[k++] = i;
for(int j = 0; j < k&&i * EUprime[j] <= n; j++){
is_prime[i*EUprime[j]] = true;
if(i % EUprime[j] == 0) break;
}
}
return k;
}
int eratosthense(int n){
int k = 0;
memset(ERprime,false,sizeof(ERprime));
for(int i = 2; i * i <= n; i++){
if(!ERprime[i]){
for(int j = i*i; j <= n; j+=i){
ERprime[j] = true;
}
}
}
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!ERprime[i]) {k++;}
return k;
}
int main(){
//int n;
clock_t st,ed;
double sec;
for(int i = 10; i < 1000000000; i *= 10){
cout<<i<<":"<<endl;
int res;
st = clock();
res = eratosthense(i);
ed = clock();
sec = (double)(ed - st) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
printf("eratosthense : %8d %.8lf
", res, sec);
st = clock();
res = euler(i);
ed = clock();
sec = (double)(ed - st) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
printf("Euler : %16d %.8lf
", res, sec);
}
}
【可以看到在小数据上两个算法效率差别不大，在大数据情况下，Euler筛法的效率明显比埃氏筛法高】