洛谷 P4721 [模板]分治FFT —— 分治FFT / 多项式求逆

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721

分治做法，考虑左边对右边的贡献即可；

注意最大用到的 a 的项也不过是 a[r-l] ，所以 NTT 可以只做到 2*(r-l)，能快一倍。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(1<<18),mod=998244353;
int n,f[xn],g[xn],a[xn],b[xn],rev[xn];
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0; ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=1;
  for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
  for(int i=0;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
    {
      int wn=pw(3,tp==1?(mod-1)/(mid<<1):(mod-1)-(mod-1)/(mid<<1));
      for(int j=0,len=(mid<<1);j<lim;j+=len)
    for(int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==1)return; int inv=pw(lim,mod-2);
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void work(int l,int r)
{
  if(l==r)return;
  int len=r-l+1,mid=((l+r)>>1);
  work(l,mid); int lim=1,L=0;
  while(lim<=(r-l))lim<<=1,L++;//max:r-l
  for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)));
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;//
  for(int i=l;i<=mid;i++)a[i-l]=f[i];
  for(int i=0;i<len;i++)b[i]=g[i];
  ntt(a,1,lim); ntt(b,1,lim);
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,-1,lim);
  for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=upt(f[i]+a[i-l]);
  work(mid+1,r);
}
int main()
{
  n=rd(); f[0]=1;
  for(int i=1;i<n;i++)g[i]=rd();
  work(0,n-1);
  for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",f[i]); puts("");
  return 0;
}

多项式求逆做法感觉很妙：

设 ( F(x) = sum f_{i}*x_{i} )，( G(x) = sum g_{i}*x_{i} )

则 ( F(x) * G(x) = sum x_{i} * sumlimits_{j=0}^{i} f_{j}*g_{i-j} )

即 ( F(x) * G(x) = F(x) - f_{0}*x_{0} )

所以 ( F(x) = (1-G(x))^{-1} )

多项式求逆即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(1<<18),mod=998244353;
int n,f[xn],g[xn],c[xn],rev[xn];
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0; ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=1;
  for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
  for(int i=0;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
    {
      int p=mod-1,len=(mid<<1),wn=pw(3,tp==1?p/len:p-p/len);
      for(int j=0;j<lim;j+=len)
    for(int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==1)return; int inv=pw(lim,mod-2);
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
  if(n==1){b[0]=pw(a[0],mod-2); return;}
  inv(a,b,(n+1)>>1);
  int lim=1,l=0;
  while(lim<n+n)lim<<=1,l++;
  for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
  for(int i=0;i<n;i++)c[i]=a[i];
  for(int i=n;i<lim;i++)c[i]=0;
  ntt(c,1,lim); ntt(b,1,lim);
  for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=((ll)2-(ll)c[i]*b[i])%mod*b[i]%mod;
  ntt(b,-1,lim);
  for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=0;
}
int main()
{
  n=rd(); f[0]=1; g[0]=1;
  for(int i=1;i<n;i++)g[i]=-rd();
  inv(g,f,n);
  for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",f[i]); puts("");
  return 0;
}